4.6 KiB
Limita funkce a spojitost
Mějme dánu funkci f : D \to \mathbb{R}
a bod x_0 \in \mathbb{R}^*
, který je hromadným bodem D
.
Řekneme, že funkce f
má limitu b \in \mathbb{R}^*
v bodě x_{0}
, jestliže pro každou posloupnost (x_{0})
platí
$$
\left( ( \space \forall , n \in \mathbb{N} : x_{n} \in D \quad \land \quad x_{n} \neq x_{0} \space ) \quad \land \quad \lim_{ n \to \infty }{x_{n}} = x_{0} \space \right) \quad \implies \quad \lim_{ n \to \infty }{f(x_{n})} = b
a píšeme \displaystyle\lim_{ x \to \infty }{f(x)} = b
.
Jednoznačnost limity
Každá funkce má v bodě nejvýše jednu limitu (limitu zprava, limitu zleva).
Pro x_{0} \in \mathbb{R}
a b \in \mathbb{R}^*
platí \displaystyle \lim_{ x \to x_{0} } f(x) = b
právě tehdy, když \displaystyle \lim_{ x \to x_{0}^- } f(x) = \lim_{ x \to x_{0}^+ } f(x) = b
.
Algebra limit
Mějme dány funkce f
a g
, které mají stejný definiční obor D
a mají v bodě x_{0} \in \mathbb{R}^*
limitu
\lim_{ x \to x_{0} } f(x) = a \in \mathbb{R}^*, \lim_{ x \to x_{0} } g(x) = b \in \mathbb{R}^*.
Potom platí
\displaystyle\lim_{ x \to x_{0} } (f(x) + g(x)) = a + b, \quad
pokud je pravá strana definována,\displaystyle\lim_{ x \to x_{0} } (f(x) \cdot g(x)) = a \cdot b, \quad
pokud je pravá strana definována,\displaystyle\lim_{ x \to x_{0} } \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{a}{b}, \quad
pokud\quad\forall \, x \in D : g(x) \neq 0\quad
a pokud je pravá strana definována.
Věta o sevření
Mějme dány funkce f, g, h
se stejným definičním oborem D
a bod x_{0} \in \mathbb{R}^*
. Dále předpokládejme, že platí
\exists \, \delta > 0 \, \forall \, x \in D \, \cap \, P(x_{0}, \delta) : f(x) \leq g(x) \leq h(x)
,\displaystyle \lim_{ x \to x_{0} } f(x) = \lim_{ x \to x_{0} } h(x) = b \in \mathbb{R}^*
.
Věta 4.5, 4.6
Spojitost funkce
- spojité funkce umíme načrtnout jedním tahem
- příklad
- spojité procesy (růst člověka)
- nespojité procesy (bankovní účet)
Mějme dánu funkci f : D \to \mathbb{R}
, bod x_{0} \in D
, který je hromadným bodem D
. Řekněme, že funkce f
je
typ spojitosti | podmínka |
---|---|
spojitá v x_0 \in D_f |
pokud \displaystyle f(x_{0}) = \lim_{ x \to x_{0} } f(x) |
spojitá zprava v x_0 \in D_f |
pokud \displaystyle f(x_{0}) = f(x_{0}+) |
spojitá zleva v x_0 \in D_f |
pokud \displaystyle f(x_{0}) = f(x_{0}-) |
Pokud x_{0} \in D
je izolovaným bodem D
, potom funkce f
je spojitá v bodě x_{0}
.
Body nespojitosti
Mějme dánu funkci f : D \to \mathbb{R}
a bod x_{0} \in \mathbb{R}
, pro který \exists \, \delta > 0 : P(x_{0}, \delta) \subset D
.
Bod x_{0}
je bod nespojitosti funkce f
, pokud funkce f
v bodě x_{0}
není spojitá.
Druhy bodů nespojitosti:
- ON - odstranitelná nespojitost
- podmínka:
\displaystyle f(x_{0}) \neq \lim_{ x \to x_{0} } f(x) \in \mathbb{R}
- limita zprava i zleva je stejná:
f(x_{0}+) = f(x_{0}-)
- funkční hodnota v
x_0
se nerovná limitě vx_0
, která je vlastní
- podmínka:
- NN1D - neodstranitelné nespojitost 1. druhu
- podmínka:
f(x_{0}+), f(x_{0}-) \in \mathbb{R}
, alef(x_{0}+) \neq f(x_{0}-)
- limita zprava i zleva je vlastní, ale nerovnají se
- nazývá se také skoková nespojitost se skokem
s = \dots
- podmínka:
- NN2D - neodstranitelná nespojitost 2. druhu
- podmínka: neexistuje vlastní limita
f(x_{0}+)
nebof(x_{0}-)
- alespoň jedna neexistuje nebo není alespoň jedna vlastní
- podmínka: neexistuje vlastní limita
Věta 4.7, 4.8, 4.9
Spojitost na intervalu
Mějme dánu funkci f : D \to \mathbb{R}
a interval I \subset D
. Řekněme, že funkce f
je spojitá na intervalu I
jestliže je spojitá v každém vnitřním bodě intervalu I
a patří-li levý (pravý) koncový bod tohoto intervalu do I
, je v něm spojitá zprava (zleva).
Cauchyho věta
Mějme dánu funkci f
, která je spojitá na uzavřeném intervalu \langle a;b \rangle
a pro kterou platí f(a) \cdot f(b) < 0
. Potom existuje \xi \in (a;b)
tak, že f(\xi) = 0
.
Weierstrassova věta
Mějme dánu funkci f
, která je spojitá na uzavřeném intervalu. Potom funkce f
je na tomto intervalu omezená a nabývá na něm své nejmenší a největší funkční hodnoty.
Bolzanova věta
Mějme dánu funkci f
, která je spojitá na uzavřeném intervalu. Potom funkce f
na tomto intervalu nabývá všech mezihodnot mezi svou nejmenší a největší funkční hodnotou.