56 lines
No EOL
2.1 KiB
Markdown
56 lines
No EOL
2.1 KiB
Markdown
# Vlastní čísla
|
|
|
|
- $A \cdot \vec{u} = \lambda \cdot \vec{u}$
|
|
- $\vec{u} \in U \smallsetminus \{\vec{o}\}$ (u nulového vektoru by to platilo vždy)
|
|
- $(\lambda I-A) \cdot \vec{u} = \vec{o}$
|
|
|
|
## Vlastní čísla
|
|
|
|
1. Vypočítáme determinant matice
|
|
$\det{(\lambda I - A)}$ -> výsledkem je **charakteristický polynom**
|
|
2. V průběhu si zkusíme vytknout něco s lambdou, např. $(\lambda-5)$
|
|
3. Výsledek zapíšeme ve tvaru $(\lambda-5)(\lambda+2)^2$ a získáme kořeny polynomu - vlastní čísla
|
|
- $(\lambda_{1} = 5, \lambda_{2,3} = -2)$
|
|
|
|
### Spektrum matice
|
|
- soubor všech vlastních čísel
|
|
- značí se $Sp(A)$
|
|
|
|
## Vlastní vektory
|
|
|
|
1. Dosadíme vlastní číslo za lambdu
|
|
2. Vypočítáme GJEM z matice s dosazenou lambdou
|
|
3. Pomocí $n-hod(\lambda I-A)$ zjistíme počet dosazovaných LN vektorů
|
|
4. Do vlastního vektoru odzadu dosadíme LN vektory (pokud jen 1, dosadíme nenulové číslo)
|
|
5. Dopočítáme pomocí rovnic v matici zbytek souřadnic
|
|
např.: $h_{1} = [2, -1, 1]^T$
|
|
|
|
Pokud nám chybí některé $h_{i}$ (máme vícenásobné vl. číslo ale $n-hod(\lambda I-A)$ vyjde menší), je možné $h_3$ dopočítat opakováním postupu pro $(\lambda I-A)\times x = -h_{2}$.
|
|
|
|
Vlastním vektorem $h_{1} = [2, -1, 1]$ se myslí $t\cdot [2, -1, 1], t\in R$
|
|
|
|
### Podobnost matic
|
|
|
|
Matice $A$ a $B$ jsou podobné, jestli existuje matice $T$ taková, aby platilo $A = T^{-1}BT$.
|
|
- pokud je A podobná B, je zároveň B podobná A, platí tedy i:
|
|
- $TA = BT$
|
|
- $TAT^{-1} = B$
|
|
- každá matice je podobná sama sobě ($T$ by byla jednotková matice $I$)
|
|
|
|
Pokud jsou matice A a B podobné, mají stejné charakteristické polynomy i spektra.
|
|
|
|
#### Diagonalizace
|
|
|
|
Matice NxN je diagonalizovatelná právě když
|
|
- má N lineárně nezávislých vlastních vektorů
|
|
- má různá vlastní čísla
|
|
- je symetrická nebo jednotková
|
|
|
|
### Jordanův kanonický tvar
|
|
|
|
1. Na diagonálu dáme jednotlivá vlastní čísla
|
|
2. Pokud jsme dopočítávali vlastní vektor pro některé vlastní číslo, je potřeba dát 1 nad diagonálu u Jordanova bloku
|
|
|
|
### Lineární operátor
|
|
|
|
- lineární zobrazení $\mathbb{L} : U \to U$ |