2.4 KiB
2.4 KiB
Lineární vektorové prostory
Příklady:
zápis | typ |
---|---|
R^2, R^3 |
geometrické vektory o 2, resp. 3 složkách |
R^n |
n-tice reálných čísel (aritmetické vektory) |
M_{m,n} |
všechny matice typu m/n (nad R , nad C ) |
P_n |
všechny polynomy stupně nejvýše n |
C(a,b) |
všechny funkce spojité na <a, b> |
Vektorový prostor V nad tělesem K:
- sčítání:
V + V \to V
- násobení:
K \times V \to V
typ | pro všechna | platí |
---|---|---|
S | \forall \vec{u}, \vec{v} \in V |
\vec{u} + \vec{v} = \vec{w} |
S | \forall \vec{u}, \vec{v}, \vec{w} \in V |
\vec{u} + (\vec{v} + \vec{w}) = (\vec{u} + \vec{v}) + \vec{w} |
S | \exists \vec{o} \in V : \forall \vec{u} \in V |
\vec{u} + \vec{o} = \vec{u} |
S | \forall \vec{u} \in V \ \ \exists \vec{v} \in V |
\vec{u} + \vec{v} = \vec{o} |
N | \forall \vec{u} \in V, \forall a, b \in K |
a \times (b \times \vec{u}) = (a \times b) \times \vec{u} |
N | \forall \vec{u} \in V |
1 \times \vec{u} = \vec{u} |
D | \forall \vec{u} \in V, \forall a, b \in K |
(a + b) \times \vec{u} = a\vec{u} + b\vec{u} |
D | \forall \vec{u}, \vec{v} \in V, \forall a \in K |
a \times (\vec{u} + \vec{v}) = a\vec{u} + a\vec{v} |
Mějme vektorový prostor V nad tělesem K. Množina U \subseteq V
je podprostorem V, pokud platí:
\forall \vec{u}, \vec{v} \in U : \vec{u} + \vec{v} \in U
\forall \vec{u} \in U, \forall a \in K : a \times \vec{u} \in U
- vyplývá, že v
U
bude nulový vektor
- vyplývá, že v
Každý podprostor vektorového prostoru je také vektorovým prostorem.
Lineární obal
- všechny lineární kombinace zadaných vektorů
<\vec{u}; \vec{v}>
Operace s podprostory
- Sjednocení
u_{1} \cup u_{2}
- Musí platit:
u_{1} \subseteq u_{2}
u_{2} \subseteq u_{1}
- Musí platit: