2.9 KiB
2.9 KiB
Matice
Maticí typu m/n nazveme soubor (tabulku) m x n prvků (čísel) a_{ij}
zapsaných do m řádků a n sloupců.
značení | význam |
---|---|
(i , j ) |
pozice v matici |
a_{ij} |
prvek na pozici (i , j ) |
i |
řádkový index |
a_{kk} |
diagonální prvek matice |
m/n |
typ matice: m řádků, n sloupců |
Názvy matic
Tvarové
- Čtvercová matice
- mají stejný počet řádků a sloupců
- Obdélníková matice
- rozdílný počet řádků a sloupců
- $m$-složkový sloupcový vektor
- matice typu
m/1
- matice typu
- $n$-složkový řádkový vektor
- matice typu
1/n
- matice typu
Další
- Nulová matice
- matice
m/n
plná nul, značíme 0 $$\begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}
- matice
- Diagonální matice
- čtvercová matice s nenulovými čísly pouze na diagonále
$$diag{1, -3, 0} = A = \begin{bmatrix}
-1 & 0 & 0 \
0 & -3 & 0 \
0 & 0 & 0
\end{bmatrix}
- Jednotková matice
- diagonální matice s 1 na diagonále
$$I = \begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 \
0 & 1 & 0 \
0 & 0 & 1
\end{bmatrix}
- Symetrická matice
- čtvercová matice, kde se
a_{ij}
rovná $a_{ji}$ $$A_{1} = \begin{bmatrix} 1 & \underline{2} & \underline{1} \ \underline{2} & 1 & \underline{0} \ \underline{1} & \underline{0} & 3 \end{bmatrix}
- čtvercová matice, kde se
- Antisymetrická matice
- čtvercová matice, kde se
a_{ij}
rovná -$a_{ji}$ $$A_{2} = \begin{bmatrix} 0 & \underline{2} & \underline{-1} \ \underline{-2} & 0 & \underline{3} \ \underline{1} & \underline{-3} & 0 \end{bmatrix} - Poznámka: V antisymetrické matici jsou všechny prvky
a_{ii} = 0
- čtvercová matice, kde se
- Horní a dolní trojůhelníková matice
- Pro H platí
a_{ij} = 0
pro všechnai > j
- Pro D platí
a_{ij} = 0
pro všechna $i < j$ $$H = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 \ 0 & 3 & 0 \ 0 & 0 & 4 \end{bmatrix} \ \ \ D = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \ 2 & 2 & 0 \ 1 & 1 & 0 \end{bmatrix}
- Pro H platí
Operace
- Rovnost
A = B
pokud všechnya_{ij} = b_{ij}
- Opačná matice
- matice
[-a_{ij}]
značená-A
je opačná matice k maticiA
- matice
- Transponovaná matice
- matice
a_{ji}
typun/m
značenáA^T
je transponovaná k maticia_{ij}
typum/n
značené $A$ $$A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \ 4 & 5 & 6 \end{bmatrix} \ \ \ A^T = \begin{bmatrix} 1 & 4 \ 2 & 5 \ 3 & 6 \end{bmatrix} - z toho plyne:
A
je symetrická, právě kdyžA = A^T
A
je antisymetrická, právě kdyžA = -A^T
(A^T)^T = A
- matice
- Sčítání a odčítání
- sčítáme/odčítáme prvky na stejných pozicí
- Násobení konstantou
- vynásobíme všechny členy konstantou
- Násobení dvou matic
- nekomutativní
- matice
A_{m/\underline{n}}
aB_{\underline{n}/p}