Determinant matice

Determinant

Determinantem čtvercové matice A = [a_{ij}] řádu n je číslo: det(A) = \sum_{\pi}^{} zn(\pi)a_{1\pi(1)}a_{2\pi(2)}...a_{n\pi(n)}
kde sčítáme přes všechny permutace na množině {1, 2, ..., n}
determinant je suma všech permutací vzniklých z diagonálního řádku matice, kde sudá permutace je s kladným znaménkem a lichá se záporným
v součinu prvků v definici determinantu je z každého řádku a z každého sloupce vybrán právě jeden prvek
det(A) = det(A^{T})
algebraický doplňek prvku (-1)^{i+j} det A[\cancel{i/j}] subdeterminant (minor) vzniklý z matice vynecháním i-tého řádku a j-tého sloupce.

A je čtvercová matice řádu n
i = \in {\{ 1, 2, ..., n \}}
det(A) = a_{i1}A_{i1}+a_{i2}A_{i2} + ... + a_{in}A_{in} = \sum_{j=1}^{n}a_{ij}A_{ij}
elementární úpravy:
- prohození dvou řádků matice
- vynásobení (vydělení) řádku matice nenulovým číslem
- přičtení k-násobku i-tého řádku k j-tému
pro determinanty můžeme využívat analogicky sloupcové elementární úpravy

nechť matice B vznikne z matice A prohozením dvou řádků (sloupců) => det(B) = -det(A)
- DK: prohozením dvou řádků (sloupců) se změní počet transpozic v každé permutaci o 1, tedy znaménka se změní v opačná
- z definice determinantu pak plyne, že vyjde opačný k det(A)
má-li matice A dva stejné řádky nebo sloupce => det(A) = 0
- DK: B vznikne z matice A prohozením dvou stejných řádků (sloupců)
- det (B) = -det(A) z předch. věty a B=A, tedy det(B) = det(A) => det(A)=det(B)=0
nechť matice B vznikne z matice A vynásobením i-tého řádku (sloupce) číslem c => det(B) = c*det(A)
- DK: rozvoj v B podle i-tého řádku:
- det(B) = (c*a_{i1}*A_{i1} + c*a_{i2}*A_{i2} + ... + c*a_{in}*A_{in}) = c * (a_{i1}*A_{i1} + a_{i2}*A_{i2} + ... + a_{in}*A_{in}) = c * det(A)
má-li matice A nějaký řádek nebo sloupec nulový => det(A) = 0
- DK: rozvojem podle nulového řádku (sloupce)
nechť matice B vznikne z matice A přičtením c-násobku i-tého řádku (slupce) k j-tému řádku (sloupci) (i \cancel = j) => det(B) = det(A)
nechť A, B jsou matice řádu n => det(A*B) = det(A) * det(B)