FAV-ZCU/KMA NM/Zkouška/07. okruh.md

Aproximace funkcí. Základní aproximační úlohy. Aproximace Taylorovým polynomem, interpolace, diskrétní a spojitá L2 aproximace. Diskrétní Fourierova transformace.

Základní aproximační úloha

Formulace

• cílem je nahrazení funkce f jinou funkcí \varphi, která v nějakém smyslu napodobuje původní funkci f za účelem snazšího zpracování či modelování na počítači

Aproximace

• vstup: f = f(x); \quad x \in \langle a,b\rangle
• zvolíme n+1 LN funkcí \varphi_{i} a hledáme funkci \varphi, která lze vyjádřit ve tvaru lineární kombinace
  • \varphi = \varphi(x), \varphi(x) = c_{0}\varphi_{0}(x) + c_{1}\varphi_{1}(x) + \dots + c_{n}\varphi_{n}(x)
  • tento typ se nazývá lineární aproximace
• pokud jsou \varphi_{i}(x) polynomy, jedná se o polynomiální aproximaci
• stanovujeme koeficienty c_{i} tak, aby se f a \varphi co nejvíce podobaly

Základní úlohy

• aproximace na okolí bodu
  • chceme-li aproximovat chování funkce v malém okolí bodu
  • např. vyčíslení hodnot \sin \frac{\pi}{4}
• interpolace
  • chceme-li zadanými body proložit polynom
  • požadujeme, aby aproximace přesně procházela zadanými body
• L2-aproximace
  • hledáme-li funkční závislost mezi zadanými body
  • nevyžadujeme, aby aproximace body procházela

Aproximace Taylorovým polynomem

• aproximace na okolí bodu

Předpoklad

• f má v bodě x_{0} a jeho okolí spojité derivace až do řádu n

Taylorův polynom

• \displaystyle T_{n}(x) = f(x_{0}) + f'(x_{0})(x-x_{0}) + \frac{f''(x_{0})}{2!}(x-x_{0})^2 + \dots + \frac{f^{(n)}(x_{0})}{n!}(x-x_{0})^n

Chyba aproximace

• \displaystyle e(x) = f(x) - T_{n}(x) = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}\cdot(x-x_{0})^{(n+1)}, \quad\xi \in u(x_{0})

Interpolace

• zadané hodnoty v n+1 bodech x_{0}, \dots, x_{n} (uzly interpolace)
• prochází zadanými body

Interpolační podmínky

• prochází zadanými body ... P_{n}(x_{i}) = f(x_{i}), \quad i = 0, 1, \dots, n
• chyba v uzlech interpolace ... e(x) = f(x) - P_{n}(x) = 0

Jednoznačnost řešení

• interpolační úloha má jediné řešení, pokud jsou uzly interpolace x_{i} vzájemně různé

Lagrangeův interpolační polynom

• \displaystyle L_{n}(x) = \sum_{i=0}^n f(x_{i})\cdot l_{i}(x)
  • f(x_{i}) ... splnění interpolační podmínky

• \displaystyle l_{i}(x) = \frac{(x-x_{0})(x-x_{1})\dots(x-x_{i-1})(x-x_{i+1})\dots(x-x_{n})}{(x_{i}-x_{0})(x_{i}-x_{1})\dots(x_{i}-x_{i-1})(x_{i}-x_{i+1})\dots(x_{i}-x_{n})}
  • vynecháme člen (x-x_{i}) a (x_{i}-x_{i})
  • dílčí polynomy n-tého stupně

Newtonův interpolační polynom

• N_{n}(x) = a_{0} + a_{1}(x-x_{0}) + a_{2}(x-x_{0})(x-x_{1}) + \dots + a_{n}(x-x_{0})(x-x_{1})\dots(x-x_{n-1})
  • vyžadujeme splnění interpolační podmínky ... N_{n}(x_{i}) = f(x_{i}), \quad i = 0,1,\dots,n
• přidáním dalšího bodu interpolace není nutné celý výpočet opakovat, jen dopočítáme příslušný koeficient a_{n+1}
• algoritmus: počítáme koeficienty a_{i} pomocí poměrných diferencí

i	x_{i}	f(x_{i})	\displaystyle\frac{f(x_{i}) - f(x_{i-1})}{x_{i} - x_{i-1}} = f^I(x_{i})	\displaystyle\frac{f^I(x_{i}) - f^I(x_{i-1})}{x_{i} - x_{i-2}} = f^{II}(x_{i})	\displaystyle\frac{f^{II}(x_{i}) - f^{II}(x_{i-1})}{x_{i} - x_{i-3}} = f^{III}(x_{i})
0	0	1 = a_{0}
1	1	2	\frac{2-1}{1-0} = 1 = a_{1}
2	-1	2	\frac{2-2}{-1-1} = 0	\frac{0-1}{-1-0} = 1 = a_{2}
3	3	0	\frac{0-2}{3-(-1)} = -\frac{1}{2}	\frac{-\frac{1}{2}-0}{3-1} = -\frac{1}{4}	\frac{-\frac{1}{4}-1}{3-0} = -\frac{5}{12} = a_{3}

Chyba interpolačního polynomu

• \displaystyle e(x) = f(x) - P_{n}(x) = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_{0})(x-x_{1})\dots(x-x_{n})

Nevilleův algoritmus

• výpočet hodnoty polynomu N_{n}(\alpha) v bodě \alpha
• není potřeba počítat celý polynom
• body je potřeba seřadit podle vzdálenosti
• princip
  1. P_{i,0} = f(x_{i}); \quad i =0, 1, \dots, n
  2. \displaystyle P_{i,k} = P_{i,k-1} + (\alpha-x_{i}) \frac{P_{i,k-1} - P_{i-1,k-1}}{x_{i} - x_{i-k}};
  3. N_{n}(\alpha)

• \alpha = 1.8

x_{i}	0	1	2	3	4
f(x_{i})	1.0000	0.36788	0.13534	0.04979	0.01832

\vert\alpha-x_{i}\vert	x_i	f(x_{i}) = P_{i,0}	P_{i,1}	P_{i,2}	P_{i,3}	P_{i,4}
0.2	2	0.13534
0.8	1	0.36788	0.18185
1.2	3	0.04979	0.24064	0.17009
1.8	0	1.00000	0.42987	0.08926	0.16201
2.2	4	0.01832	0.5582	0.27583	0.13901	0.16431

Spline funkce

• více polynomů dohromady
• lineární spline funkce
  • lomená čára spojující zadané body
• kubická spline funkce
  • na každém intervalu polynom 3. stupně
  • splňuje interpolační podmínky
  • je spojitá
  • má spojitou první derivaci - nemá hroty
  • má spojitou druhou derivaci - nemá prudké změny koeficientů křivosti

L2 aproximace

Princip

• hledáme aproximace ve tvaru
  • \varphi = \varphi(x), \varphi(x) = c_{0}\varphi_{0}(x) + c_{1}\varphi_{1}(x) + \dots + c_{m}\varphi_{m}(x)
• cílem L2 aproximace je minimalizovat odchylku funkce \varphi od zadaných bodů

Druhy

• diskrétní L2 aproximace lineárním polynomem
  • \varphi(x) = c_{0} + c_{1}x
• diskrétní L2 aproximace kvadratickým polynomem
  • \varphi(x) = c_{0} + c_{1}x + c_{2}x^2