Vlastní čísla

Částečný problém

Hledáme dominantní vlastní číslo (pouze jedno, s největší absolutní hodnotou).

Mocninná metoda

Vstup: matice A, sloupcový vektor y^{(0)}

Předpoklady:

matice A má $n$-lineárně nezávislých vlastních vektorů
existuje jediné dominantní vlastní číslo
vlastní čísla lze seřadit: |\lambda_{1}| > |\lambda_{2}| \geq |\lambda_{3}| \geq \dots \geq |\lambda_{n}|

Postup:

pomocí iterační formule y^{(k+1)} = A\cdot y^{(k)} počítáme další y^{(k+1)} (k = 0, 1, \dots)
z vektoru y^{(k+1)} vybereme index i, kde |y^{(k+1)}_{i}| je největší
vypočítáme přibližné vl. číslo \lambda^{(k+1)} = \frac{y^{(k+1)}_{i}}{y^{(k)}_{i}}
- použijeme hodnoty na $i$-tém indexu v aktuálním a předchozím vektoru y
opakujeme, pokud neplatí zastavovací podmínka

zastavovací podmínka: |\lambda^{(k+1)} - \lambda^{(k)}| < \epsilon

Poznámky:

v Matlabu ověříme vl. čísla pomocí funkce eig(A)
kvůli přetečení/podtečení je vhodné vektor y^{(k+1)} v každém kroku normovat

Rayleigho metoda

Tato metoda je velice podobná mocninné metodě, ale pro výpočet lambdy použijeme jiný vzorec níže.

\displaystyle\lambda_{k} = \frac{y^{(k-1)^T} \cdot y^{(k)}}{y^{(k-1)^T} \cdot y^{(k-1)}}

Poznámky:

vhodné pouze pro matice blízce symetrické (hodnoty jsou téměř symetrické)
konverguje k nule zhruba dvakrát rychleji

Úplný problém

Tímto způsobem nalezneme všechna vlastní čísla matice.

LU rozklad

Postup:

A_{0} = A, k = 0
provedeme LU rozklad matice A_{k} = L_{k}U_{k}
sestrojíme matici A_{k+1} = U_{k}L_{k} (matice prohodíme)
pokud je A_{k+1} horní trojúhelníková -> konec, jinak k = k+1 a jdeme na 2. krok

Pokud je matice A_{k+1} horní trojúhelníková (nebo jsou hodnoty pod diagonálou blízko nule), poté máme na diagonále všechna vlastní čísla matice A.

QR transformace

Podobné LU rozkladu, ale rozdílný vzoreček:

A_{k+1} = Q^T_{k}A_{k}Q_{k}, k = 0, 1, 2, \dots

2.1 KiB Raw Blame History