FAV-ZCU/KMA NM/Aproximace funkce.md

Aproximace funkce

Aproximace v okolí bodu

V bodě bude mít nová funkce stejnou hodnotu, v okolních bodech bude její hodnota podobná.

Taylorův polynom

Jedná se o aproximaci na okolí bodu pomocí Taylorova polynomu.

• čím vyšší stupeň, tím více aproximuje funkci
• Tn(x) = f(x_{0}) + \frac{f'(x_{0})}{1!}\cdot(x-x_{0}) + \frac{f''(x_{0})}{2!} \cdot (x-x_{0})^2 + \dots + \frac{f^{(n)}}{n!}(x-x_{0})^n

Chyba v daném bodu:

• e(x) = f(x) - Tn(x)

Interpolace funkcí

Máme zadané body, které chceme proložit nějakou funkcí (hodnota funkce v bodech bude stejná).

Lagrangeův interpolační polynom

i	0	1	2
x_{i}	0	1	3
f(x_{i})	1	2	0

L_{2}(x) = f(x_{0})l_{0}(x) + f(x_{1})l_{1}(x) + f(x_{2})l_{2}(x)

• l_{0}(x) = \frac{(x-1)(x-3)}{(0-1)(0-3)} = \frac{1}{3}(x-1)(x-3)
• l_{1}(x) = \frac{(x-0)(x-3)}{(1-0)(1-3)} = -\frac{1}{2}x(x-3)
• l_{2}(x) = \frac{(x-0)(x-1)}{(3-0)(3-1)} = \frac{1}{6}x(x-1)

Poté dosadíme:

• L_{2}(x) = \dots

Newtonův polynom

N_{n}(x) = a_{0} + a_{1}(x-x_{0}) + a_{2}(x-x_{0})(x-x_{1}) + \dots + a_{n}(x-x_{0})\dots (x-x_{n-1})

i	0	1	2	3
x_{i}	0	1	-1	3
f(x_{i})	1	2	2	0

i	x_{i}	f(x_{i})	\displaystyle\frac{f(x_{i}) - f(x_{i-1})}{x_{i} - x_{i-1}} = f^I(x_{i})	\displaystyle\frac{f^I(x_{i}) - f^I(x_{i-1})}{x_{i} - x_{i-2}} = f^{II}(x_{i})	\displaystyle\frac{f^{II}(x_{i}) - f^{II}(x_{i-1})}{x_{i} - x_{i-3}} = f^{III}(x_{i})
0	0	1
1	1	2	\frac{2-1}{1-0} = 1
2	-1	2	\frac{2-2}{-1-1} = 0	\frac{0-1}{-1-0} = 1
3	3	0	\frac{0-2}{3-(-1)} = -\frac{1}{2}	\frac{-\frac{1}{2}-0}{3-1} = -\frac{1}{4}	\frac{-\frac{1}{4}-1}{3-0} = -\frac{5}{12}

Na diagonále se nachází koeficienty a_{0}, a_{1}, a_{2}, a_{3} Newtonova interpolačního polynomu, stačí je pouze dosadit.

Nevilleův algoritmus

Umožní vypočítat pouze hodnotu polynomu N_{n}(\alpha) v zadaném bodě \alpha.

Princip je podobný jako u Newtonova polynomu.

1. P_{i,0} = f(x_{i}); \quad i =0, 1, \dots, n
2. P_{i,k} = P_{i,k-1} + (\alpha-x_{i}) \frac{P_{i,k-1} - P_{i-1,k-1}}{x_{i} - x_{i-k}};
3. N_{n}(\alpha)

Příklad:

• \alpha = 1.8

x_{i}	0	1	2	3	4
f(x_{i})	1.0000	0.36788	0.13534	0.04979	0.01832

• tabulku níže seřadíme podle vzdálenosti bodu x_{i} od \alpha
• pokud se hodnota na diagonále změní o méně než \epsilon, je možné skončit dříve

\vert\alpha-x_{i}\vert	x_i	f(x_{i}) = P_{i,0}	P_{i,1}	P_{i,2}	P_{i,3}	P_{i,4}
0.2	2	0.13534
0.8	1	0.36788	0.18185
1.2	3	0.04979	0.24064	0.17009
1.8	0	1.00000	0.42987	0.08926	0.16201
2.2	4	0.01832	0.5582	0.27583	0.13901	0.16431

Kubická spline funkce

Interpolace plynomem není vždy vhodná, proto zavádíme interpolaci spline funkcemi.

Lineární spline funkce - jde o lomenou čárz spojující interpolované body

Kubická spline funkce

• funkci na \langle a,b\rangle aproximujeme vícero funkcemi (polynomy 3. stupně)
• interval \langle a,b\rangle rozdělíme na n dílčích intervalů
• jednotlivé funkce \varphi_{i}(x) na každém intervalu \langle x_{i},x_{i+1}\rangle mají tvar:
  • \varphi_{i}(x) = a_{i} + b_{i}(x-x_{i}) + \frac{c_{i}}{2}(x-x_{i})^2 + \frac{d_{i}}{6}(x-x_{i})^3

Podmínky interpolace:

• spojitost funkce \varphi
  • \varphi_{i-1}(x_{i}) = \varphi_{i}(x_{i})
• spojitost 1. derivace funkce \varphi
  • \varphi'_{i-1}(x_{i}) = \varphi'_{i}(x_{i})
• spojitost 2. derivace funkce \varphi
  • \varphi''_{i-1}(x_{i}) = \varphi''_{i}(x_{i})
• interpolační podmínky
  • \varphi_{i}(x_{i}) = f(x_{i})
• je vhodné doplnit ještě další: podm. tečen, periodicity, přirozené podmínky