59 lines
No EOL
2.9 KiB
Markdown
59 lines
No EOL
2.9 KiB
Markdown
Def.: matice vážených vzdáleností (w-distanční matice) ohodnoceného grafu otientovaného grafu $(G, w), G = (V, E), V = \{ v_{1}, v_{2}, \dots, v_{n} \}$ je matice $D^w(G)$ řádu n, příčemž
|
|
- $D^w(G) = (d^w(v_{i},v_{j}))^n_{i,j=1}$
|
|
|
|
Def.:
|
|
- $k \geq 0, k \in \mathbb{Z}$
|
|
- cesta z $v_{i}$ do $v_{j}$ je k-minimální, pokud její délka (nevážená) je nejvýše k a mezi všemi takovými cestami je minimální (tj. neexistuje cesta délky k s vahou menší)
|
|
|
|
Matice $D_{k}$ - matice, jejíž prvek $d^k_{ij}$ na pozici $(i,j)$ je roven váze k-minimální cesty z vrcholu $v_{i}$ do $v_{j}$
|
|
- $D_{n-1} = D^w(G)$ protože každá cesta v G může obsahivat nejvýše n-1 hran
|
|
- $D_{1} = d^1_{ij} \quad d^1_{ij} = \begin{cases} w(v_{i}, v_{j}) \quad (v_{i}, v_{j}) \in E \\ 0 \qquad \qquad v_{i} = v_{j} \\ \infty \qquad \qquad \text{jinak, tj. } (v_{i}, v_{j} \notin E) \end{cases}$
|
|
|
|
Tvrzení:
|
|
- $D_{n-1} = D^w(G)$
|
|
- matice $D_{k}$ je k-tou mocninou matice $D_{1}$ vzhledem k operacím $+, \cdot$
|
|
- pokud pro nějaké $q \geq 1$ platí $D_{q+1} = D_{q}$, pak $D^w(G) = D_{q}$
|
|
|
|
Tvrzení: nechť $(G, w)$ je ohodnocený neorientovaný graf
|
|
- $w: E \to R^*$
|
|
1) $d^w(x,y) \geq 0, d^w(x,y) = 0 \iff x = y$
|
|
2) $d^w(x, y) = d^{w'}(y, x)$
|
|
3) $d^w(x, y) + d^w(y, z) \geq d^w(x, z)$
|
|
- tj. $d^w$ je metrika na G
|
|
|
|
Eulerovské grafy
|
|
- existence tahu v G takového, že obsahuje všechny hrany G
|
|
- tah = sled, ve kterém se neopakují hrany
|
|
|
|
Def.: eulerovský tah v G je uzavřený tah obsahující všechny hrany G
|
|
- otevřený eulerovský tah je tak obsahující všechny hrany G
|
|
|
|
? existence eulerovských tahů ?
|
|
- eulerovský graf = graf s eulerovským tahem
|
|
|
|
Věta: G je souvislý, pak G je eulerovský $\iff$ každý vrchol má sudý stupeň v G
|
|
|
|
Hierholzerův algoritmus (G souvislý)
|
|
- najdu uzavřený tah M
|
|
- ? existuje hrana dotýkající se M (neobsažená v M)
|
|
- ano - prodluž M
|
|
- ne - eulerovský tah
|
|
|
|
Prostor kružnic grafu
|
|
- $G = (V, E), \vert E\vert = m$
|
|
- každému faktoru grafu G lze přiložit charakteristický vektor $x \in \mathbb{Z}^m_{2}$
|
|
|
|
Věta: množina sudých faktorů (jejich char. vektorů) tvoří lineární podprostor $\mathbb{Z}^m_{2}$
|
|
- prostor kružnic $\mathcal C(G)$ neor. grafu G - lineární prostor sudých faktorů (char. vektorů)
|
|
- ? báze, dimenze $\mathcal C(G)$, počet prvků $\mathcal C(G) (počet sudých faktorů)
|
|
|
|
Konstrukce báze $\mathcal C(G)$
|
|
1) kostra grafu G ... T (lib. ale pevná)
|
|
2) systém fundamentálních kružnic
|
|
- pro každou hranu e grafu G, která není na T vezmeme kružnici v T + e - fundamentální kružnice příslušného e vzhledem ke kostře T
|
|
- počet fund. kružnic $= m-n+1$
|
|
3) $\dim(\mathcal C(G)) = m-n+1$ (G souvislý)
|
|
|
|
Věta: fundamentální kružnice tvoří bázi $\mathcal C(G)$
|
|
- $\dim(\mathcal C(G)) = m-n+1$ (G souvislý)
|
|
- počet prvků $\mathcal C(G)$ = počet sudých faktorů G = počet podmnožin fundamentálních kružnic = $2^{m-n+1}$ |