4.5 KiB
4.5 KiB
Vlastnosti souvislých grafů
- Věta: G je souvislý, m hran, n vrcholů, pak
m \geq n - 1
- pokud
n \geq 2
, pak v G existujev, v \in V(G)
tak, žeG \setminus u
je souvislý,G \setminus v
je souvislý
Orientované grafy
- Def: orientovaný graf je dvojice
G = (V, E)
, V je množina vrcholů, E je množina hran,E \leq V \times V
- orientované grafy odpovídají binárním relacím
Speciální grafy
- orientovaná cesta
P_{n}(\vec{P_{n}})
- cyklus
C_{n}(\vec{C_{n}})
Podgrafy a spol.
- G orientovaný graf
- podgraf:
H \leq G : V(H) \leq V(G), E(G) \leq E(G)
- indukovaný podgraf:
H \leq G : V(H) \leq V(G), E(H) = E(G) \cap (V(H) \times V(H))
- faktor:
V(H) = V(G), E(H) \leq E(G)
- vlastní faktor: H je vl. faktor G : H je faktor
\wedge H \neq G
Symetrizace orientovaného grafu
- symetrizace H, or. graf G
- z hran v G "odmažu" orientaci
- smažu násobné hrany
- smažu smyčku
E(H) = \{ \{x, y\} | (x, y) \in E(G), x \neq y \}
V(H) = V(G)
- orientace neorientovaného grafu H - přiřaďme orientaci neorientovaným hranám
2^n
možných orientací- v orientaci neor. grafu nejsou smyčky ani prituchůdné hrany
Okolí a stupně v orientovaných grafech
- G or. graf,
G = (V, E)
v \in V(G)
N^{out}(v) = \{ u \in V(G) \mid (v, u) \in E(G) \}
- vstupní okolí
N^+, N^-
- vstupní okolí
N^{in}_{G}(v) = \{ u \in V(G) \mid (u, v) \in E(G) \}
- výstupní stupeň
d^{out}_{G}(v) = \vert N^{out}(v) \vert
- vstupní stupeň
d^{in}(v) = \vert N^{in}(v) \vert
\sum_{ n\in V(G)} d^{out}_{G}(v) = \sum_{n \in V(G)} d^{in}_{G}(v) = m
- m je # hran or. grafu
- D: každá hrana započtena 1x
Slabá souvislost or. grafu G
- Def: or. graf G je slabě souvislý, pokud je jeho symetrizace souvislá
\to
komponenty slabé souvislosti
Orientované sledy, tahy a cesty
- orientovaný sled - posloupnost vrcholů
v_{1}, v_{2}, \dots, v_{l}
tak, že(v_{i}, v_{i+1}) \in E(G)
- orientovaný tah - neopakují se hrany
- orientovaná cesta - neopakují se vrcholy
- další 3 možné pohledy
- uzavřený orientovaný sled - počáteční a koncový vrchol posloupnosti stejné
- uzavřený orientovaný tah
- cyklus (uz. or. cesta)
- Def: orientovaný graf G je silně souvislý, pokud
\forall
dvojice vrcholůx, y \in V(G)
platí, že v G\exists
orientovaný xy-sled (cesta)\wedge \, \exists
or. yx-sled (cesta)- nejkratší or. xy-sled je xy-cestou
- Věta: G je or. graf, slabě souvislý
- G je silně souvislé
\iff
každá hrana je obsažena v nějakém cyklu
- G je silně souvislé
Relace oboustranné dosažitelnosti
- or. G,
x, y \in V(G)
- relace ob. dosažitelnosti
x \sim y
, pokud\exists
or. xy-sled\wedge \, \exists
or. yx-sled- reflexivní
- symetrická
- tranzitivní -
x \sim y \wedge y \sim z \implies x \sim z
- je to ekvivalence
\implies
rozklad V(G) na třídy ekvivalence- silná komponenta - je podgraf indukovaný na třídě ekvivalence (maximální silně souvislý podgraf)
Kondenzace or. grafu G
V_{C} =
množina silných komponent GG_{C} = (V_{C}, E_{C})
Q_{1}Q_{2} \in E_{C}
, pokud v G\exists \, x_{1} \in V(Q_{1}), \exists \, x_{2} \in V(Q_{2})
tak, že(x_{1}, x_{2}) \in E
Acyklické or. grafy
- or. graf bez cyklů
- Acyklické grafy odpovídají POSETům
- sledová relace [walk relation]
\quad x\sim y \quad x, y \in V(G)
, pokud\exists
or. xy-sled- reflexivní
x\sim y
[sled nulové délky] - antisymetrická
- tranzitivní
- reflexivní
- každý POSET odpovídá sledová relace nějakého acykl. grafu [bisekce]
- minimální prvky
\quad d^{in}_{G}(v) = 0\quad
- vstupní vrchol - maximální prvky
\quad d^{out}_{G}(v) = 0\quad
- výstupní vrchol - každý podgraf acyklického grafu je acyklický [acyklicita je dědičná]
\implies
každý acyklický graf má topologické uspořádání vrcholů (odtrhávání vstupních vrcholů a jejich postupné číslování)- lineární (topologické) uspořádání
- očíslování vrcholů ac. grafu tak, že
(i,j) \in E(G) \implies i < j
- očíslování vrcholů ac. grafu tak, že
- or. graf G je acyklický
\iff
vrcholy G lze lineárně uspořádat - Věta: G or. graf
- kondenzace
G^C
je acyklická - G je silně souvislý
\iff
G^C
má jediný vrchol - G acyklický
\iff G^C = G
- kondenzace
Matice přiřazené grafům (or. & neor.)
- Laplaceova matice L(G) neorientovaného grafu G řádu
n = \vert V(G) \vert
- redukovaná Laplaceova matice
L_{R}(G)
- vynecháním i-tého řádku a i-tého sloupce pro nějaké (pevné) i
- Věta: počet různých koster neor. grafu G je roven
\det L_{R}(G)