FAV-ZCU/KIV UIR/02. Řešení a dekompozice úloh.md

Řešení úloh

Úloha

• dvě množina stavů
  • X = \{x_{1}, x_{2}, \dots, x_{k}\} ... množina výchozích stavů
  • Y = \{y_{1}, y_{2}, \dots, y_{m}\} ... množina cílových stavů
• zobrazení X \to Y

Řešením úlohy

• postup (posloupnost operací), kterým převedeme úlohu z některého výchozího stavu x_{i} do definovaného cílového stavu y_{j}

Posloupnost stavů

• x_{i} = s_{0}, s_{1}, \dots, s_{t} = y_{j}
• pro přechod mezi jednotlivými s_{i} slouží operátory r_{i} popisující elementární operace

Operátory

• \text{R} = \{r_{1}, r_{2}, \dots, r_{l}\}
• úlohu vyjádříme jako x_{i} \to^{R_{Kij}} y_{j}

Definice úlohy

• trojice (X, Y, R)
• vždy známe dvě složky a třetí určujeme
  • (X, ?, R) ... deduktivní
  • (?, Y, R) ... abduktivní
  • (X, Y, ?) ... induktivní

Hledání řešení úlohy

Hledáme takové sestavení operátorů R, které vyhovuje zadaným množinám stavů X a Y a je v nějakém (obvykle daném) smyslu optimální.

Postup

• metodou pokusů a omylů vytváříme strom řešení úlohy
• současným prohledáváním hledáme takový kompoziční operátor R_{Kij} (sestavení operátorů), který vyhovuje množinám stavů X a Y

• procházení stromu řešení
  • deterministické
  • náhodné
  • heuristické

Předpoklady

1. existuje konečná množina stavů S = \{s_{i}\}, ve kterých se může úloha nacházet
2. existuje alespoň jeden výchozí (počáteční) stav úlohy s_{0} \in S
3. existuje konečná množina cílových (požadovaných) stavů úlohy G = \{g_{j}\}, přičemž G \subseteq S
4. existuje konečná množina elementárních operátorů R = \{r_{l}\}, které převádějí úlohu ze tavu s_{p} do stavu s_{q}

Stavový prostor - definován dvojice (S, R)

Konkrétní řešení úlohy

• definováno trojicí (s_{0}, s_{j}, R_{K_{0}j}) na S
• R_{K_{0}j} - kompoziční operátor pro převod úlohy z s_{0} do s_{j} = g_{_{k}}

Řešení úlohy ve stavovém prostoru

• kompoziční operátor R_{K_{0}j} = r_{1}r_{2}r_{3}\dots r_{r-1}r_{r} takový, že
  • s_{1} \leftarrow r_{1} (s_{0})
  • s_{2} \leftarrow r_{1} (s_{1}) = r_{2}(r_{1}(s_{0}))
  • ...
  • s_{r} \leftarrow r_{r} (s_{r-1}) = r_{r}(r_{r-1}(\dots r_{1}(s_{0}))

Reprezentace úlohy stromovým grafem

Pojmy

• uzly grafu - stavy úlohy
• hrany grafu - přechody mezi stavy
• bezprostřední následovník - uzly, které mají stejného rodiče
• expanze uzlu - nalezení všech bezprostředních následovníků uzlu
• hloubka uzlu - počet hran do něj vedoucích z uzlu s_{0}

Strom řešení úlohy

• jediný uzel bez bezprostředního předchůdce - kořen
• u každého uzlu určujeme rekurzivně jeho hloubku
  • kořen - 0
  • následovník uzlu s hloubkou d má hloubku d+1
• uzly bez bezprostředního následovníka jsou
  • cílovými stavy úlohy
  • stavy bez aplikovatelných operátorů
  • stavy, o kterých jsme rozhodli, že je nemá smysl rozvíjet
• orientovaná hrana - přechod ze starého do nového stavu (aplikace operátoru)

Nalezení řešení úlohy

• nalezení cesty spojující kořen s listem, který reprezentuje cílový stav úlohy

Produkční systém

Složky

• databáze úlohy - fakta
• báze znalostí - produkční pravidla
  • podmínka -> akce
• řídíci mechanizmus
  • provádí volbu, které pravidlo bude použito
  • vybírá fakta z databáze, která budou dosazena do podmínky
  • ukončuje výpočet, pokud je splněna cílová podmínka
• množina cílů, které mají být splněny

Dekompozice úlohy

Hanoiské věže

• máme tři tyče: A, B, C
• na tyči A je (podle velikosti) n kotoučů
• úkol: přeskládat z A pomocí C na tyč B (zaps. n(A, B, C)) bez porušení uspořádání

• fáze
  • přeskládat n-1 kotoučů z A pomocí B na C
  • přeložit 1 kotouč z A na B
  • překládat n-1 kotoučů z C pomocí A na B

AND/OR grafy

• chceme najít cestu a \to z
• pomocí AND/OR grafu rozdělíme problém na podproblémy
  • cesta přes k, cesta přes l
• pokud máme OR vrchol, tak stačí projít jediného následníka
• pokud máme AND vrchol, musíme projít všechny následníky

• celkové řešení = podgraf AND/OR grafu, který nevynechá žádného následníka AND uzlu