53 lines
No EOL
1.6 KiB
Markdown
53 lines
No EOL
1.6 KiB
Markdown
### Zadání
|
|
|
|
Balistické kyvadlo je tvořeno **truhlíkem s pískem zavěšeným na dlouhých drátech**. Vstřelíme-li do truhlíku projektil, kyvadlo se vychýlí, a **na základě této výchylky určete rychlost střely**.
|
|
|
|
- $M$ - hmotnost bal. kyvadla
|
|
- $l$ - délka závěsu
|
|
- $m$ - hmotnost střely
|
|
- $v_{0} = \, ?$
|
|
|
|
![](_assets/priklad8.svg)
|
|
|
|
předpoklady
|
|
- tíhové pole Země
|
|
- střela v truhlíku uvázne
|
|
|
|
zákon zachování mechanické energie
|
|
- $W_{kin} + W_{pot} = \text{konst.}$
|
|
|
|
zákon zachování hybnosti
|
|
- $\vec p = \text{konst.}$
|
|
- v tomto případě
|
|
- $\vec{p}_\text{střela} = \vec{p}_\text{střela + kyvadlo}$
|
|
- $m \cdot v_{0} = (m+M) \cdot v_{1}$
|
|
- hybnost před srážkou `=` hybnost po srážce
|
|
|
|
z obrázku platí
|
|
- $(l-h)^2 + d^2 = l^2$
|
|
- $\cancel{l^2} - 2lh + h^2 + d^2 = \cancel{l^2}$
|
|
- $2lh = h^2 + d^2$
|
|
- $\displaystyle \frac{2lh}{d^2} = \frac{h^2}{d^2} + 1$
|
|
- pro velká l platí, že
|
|
- $h \ll d \implies \text{zanedbáme} \, \frac{h^2}{d^2}$
|
|
- $h = \frac{d^2}{2l}$
|
|
|
|
### Výpočet
|
|
|
|
vyjádříme $v_{1}$ ze zákona zachování mechanické energie
|
|
- $\displaystyle \frac{1}{2}\cancel{(m+M)} \cdot v_{1}^2 = \cancel{(m+M)} \cdot g \cdot h$
|
|
- $\displaystyle \frac{1}{2} \cdot v_{1}^2 = g \cdot h$
|
|
- $v_{1}^2 = 2gh$
|
|
- $v_{1} = \sqrt{ 2gh }$
|
|
|
|
využijeme vzorečku ze zákona o zachování hybnosti
|
|
- $m \cdot v_{0} = (m+M) \cdot v_{1}$
|
|
- $v_{0} = \frac{m+M}{m} \cdot v_{1}$
|
|
|
|
### Výsledek
|
|
|
|
svislá výchylka $h$
|
|
- $\displaystyle v_{0} = \frac{m+M}{m} \cdot \sqrt{ 2gh }$
|
|
|
|
vodorovná výchylka $d$
|
|
- $\displaystyle v_{0} = \frac{m+M}{m} \cdot \sqrt{ \cancel{2} \cdot g \cdot \frac{d^2}{\cancel{2}l} } = \frac{m+M}{m} \cdot \sqrt{ \frac{g}{l} } \cdot d$ |