7.1 KiB
Posloupnosti
Posloupnost reálných čísel je zobrazení s definičním oborem \mathbb{N}
a oborem hodnot H \subset \mathbb{R}
, tj. každému indexu n \in \mathbb{N}
je přířazen právě jeden člen a_{n} \in \mathbb{R}
.
Možné zápisy pro posloupnost:
\displaystyle (a_{n}), \quad (a_{n})_{n=1}^{+\infty}, \quad (a_{1}, a_{2}, a_{3}, \dots), \quad (a_{n})_{n\in \mathbb{N}}
.
Zadání
typ | příklad |
---|---|
explicitní | a_n = 2n |
implicitní (rekurentní) | \begin{cases} a_{n+1} = a_n + 2 \newline a_1 = 2\end{cases} |
graf posloupnosti | (n, a_{n}) |
Omezenost
Posloupnost (a_n)
s oborem hodnot H
je omezená (zdola, shora), je-li množina H
omezená (zdola, shora).
značení | typ | podmínka | příklad |
---|---|---|---|
OZ | omezená zdola | \exists \, d \in \mathbb{R} \quad \forall \, n \in \mathbb{N} : d \leq a_{n} |
(n-8)^2 |
OS | omezená shora | \exists \, h \in \mathbb{R} \quad \forall \, n \in \mathbb{N} : a_{n} \leq h |
4-n |
O | omezená (shora i zdola) | \exists \, c > 0 \quad \forall \, n \in \mathbb{N} : \vert a_{n} \vert \leq c |
(-1)^n |
Minimum, maximum, infimum a supremum
Minimem (max, inf, sup) posloupnosti (a_n)
s oborem hodnot H
je minimem (max, inf, sup) množiny H
.
Monotonie
Řekněme, že posloupnost (a_n)
je
značka | typ | podmínka |
---|---|---|
R | rostoucí | \displaystyle \forall n \in \mathbb{N} \quad a_{n+1} >= a_n |
K | klesající | \displaystyle \forall n \in \mathbb{N} \quad a_{n+1} <= a_n |
OR | ostře rostoucí | \displaystyle \forall n \in \mathbb{N} \quad a_{n+1} > a_n |
OK | ostře klesající | \displaystyle \forall n \in \mathbb{N} \quad a_{n+1} < a_n |
M | monotónní | je klesající nebo rostoucí |
OM | ostře monotónní | je ostře klesající nebo ostře rostoucí |
Zjištění monotonie
- Tipnu a ověřím
- Otazníčková metoda
Limita
Vlastní limita
Posloupnost (a_n)
má vlastní limitu a \in R
, pokud
\displaystyle \forall \, \epsilon \in \mathbb{R} > 0 \quad \exists \, n_{0} \in \mathbb{N} \quad \forall \, n \in \mathbb{N} : n > n_{0} \implies |a_{n} - a| < \epsilon.
Píšeme
\displaystyle \lim_{ n \to \infty } a_{n} = a
a_{n} \to a
Pozn.: a - \epsilon < a_{n} < a + \epsilon
- Pro jakoukoli šířku pásma existuje standardní hodnota, všechna následující
n
majía_n
uvnitř $\epsilon$-pásem
Nevlastní limita
Posloupnost (a_n)
má nevlastní limitu +\infty
, pokud
\displaystyle \forall \, h > 0 \quad \exists \, n_{0} \quad \forall \, n \in N : n > n_{0} \implies a_{n} > h
\displaystyle \forall \, d < 0 \quad \exists \, n_{0} \quad \forall \, n \in N : n > n_{0} \implies a_{n} < d
Píšeme
\displaystyle \lim_{ n \to \infty } a_{n} = +\infty
neboa_{n} \to +\infty
\displaystyle \lim_{ n \to \infty } a_{n} = -\infty
neboa_{n} \to -\infty
Jednoznačnost limity
Každá posloupnost má nejvýše 1 limitu.
Algebra vlastních limit
Nechť \displaystyle \lim_{ n \to \infty } a_{n} = a
a \displaystyle \lim_{ n \to \infty } b_{n} = b
, pak
-
\displaystyle \lim_{ n \to \infty } (\alpha \cdot a_{n} + \beta \cdot b_{n}) = \alpha \cdot a + \beta \cdot b
, pokud je pravá strana definována, -
\displaystyle \lim_{ n \to \infty } (a_{n} \cdot b_{n}) = a \cdot b
, pokud je pravá strana definována, -
\displaystyle \lim_{ n \to \infty } (\frac{a_{n}}{b_{n}}) = \frac{a}{b}
, pokudb_{n} \neq 0
pro všechnan \in N
a pokud je pravá strana definována.
Věta o sevření
Mějme dány posloupnosti (a_{n}), (b_{n}), (c_{n})
a předpokládejme, že platí
\exists \, n_{o} \in \mathbb{N} \quad \forall \, n \in \mathbb{N} : n > n_{0} \implies a_{n} \leq b_{n} \leq v_{n}
,\displaystyle\lim_{ n \to \infty }{a_{n}} = \lim_{ n \to \infty }{c_{n}} = a \in \mathbb{R}^*
.
Potom sevřená posloupnost (b_{n})
má také limitu a platí \displaystyle\lim_{ n \to \infty }{b_{n}} = a
.
Eulerovo číslo
Eulerovo číslo e
je definováno jako \displaystyle e = \lim_{ n \to \infty } \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n = \vert\text{"NV }1^\infty\text{"}\vert
.
- alternativní definice:
\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!}
Konvergence a divergence
Řekněme, že posloupnost (a_n)
je
značka | typ | podmínka |
---|---|---|
K | konvergentní | má-li vlastní / konečnou limitu |
D | divergentní | není-li konvergentní |
divergentní k +\infty |
má-li nevlastní limitu +\infty |
|
divergentní k -\infty |
má-li nevlastní limitu -\infty |
Omezenost a limity
-
Je-li posloupnost konvergentní (K), pak je i omezená (O).
-
Diverguje-li posloupnost k
+\infty
, pak je omezená pouze zdola (OZ). -
Diverguje-li posloupnost k
-\infty
, pak je omezená pouze shora (OS).
Dále také
-
Je-li
(a_n)
monotónní (M) a omezená (O), pak je i konvergentní (K). -
Je-li
(a_n)
rostoucí (R) a omezená (O), pak\displaystyle \lim_{ n \to \infty } a_{n} = sup \, a_{n}
amin \, a_{n} = a_{1}
. -
Je-li
(a_n)
klesající (K) a omezená (O), pak\displaystyle \lim_{ n \to \infty } a_{n} = inf \, a_{n}
amax \, a_{n} = a_{1}
.
Sčítání, násobení a dělení na množině \mathbb{R}^*
\forall \, x \in \mathbb{R}^* \setminus \set{ +\infty } : \quad -\infty + x = x + (-\infty) = -\infty
,\forall \, x \in \mathbb{R}^* \setminus \set{ -\infty } : \quad +\infty + x = x + (+\infty) = +\infty
,\forall \, x \in \mathbb{R}^*, x > 0 : \quad x \cdot (\pm \infty) = \pm \infty
,\forall \, x \in \mathbb{R}^*, x < 0 : \quad x \cdot (\pm \infty) = \mp \infty
,\displaystyle\forall \, x \in \mathbb{R} : \quad \frac{x}{\pm \infty} = 0
.
Poznámka: Operace sčítání, násobení a dělení nejsou definovány pro všechny dvojice z \mathbb{R}^*
:
(+\infty) - (+\infty), (-\infty) - (-\infty), (+\infty) + (-\infty), (-\infty) + (+\infty)
,0 \cdot (+\infty), (+\infty) \cdot 0, 0 \cdot (-\infty), (-\infty) \cdot 0,
\displaystyle\frac{+\infty}{+\infty}, \frac{-\infty}{-\infty}, \frac{-\infty}{+\infty}, \frac{+\infty}{-\infty}
,\displaystyle\frac{x}{0}, x \in \mathbb{R}^*
.