4.3 KiB
Př. 1: Vypočítejte nad tělesem Z_{5}
.
(2x^4 + 3x^3 + 4) \cdot (3x^3 + 4x^2 + 2x + 1) =
$$
= (x^7 + 3x^6 + 4x^5 + 2x^4) + (4x^6 + 2x^5 + x^4 + 3x^3) + (2x^3 + x^2 + 3x + 4) = x^7 + 2x^6 + x^5 + 3x^4 + x^2 + 3x + 4
Př. 2: Vypočítejte nad tělesem Z_{5}/x^4-1
.
(2x^4 + 3x^3 + 4) * (3x^3 + 4x^2 + 2x + 1) =
Pozn.: výsledkem násobení * je zbytek výsledku součinu po dělení x^4 - 1
(resp. x^4 + 4
, protože -1 je v tomto tělese 4)
x^4 = 1
u(x) = 1 + x^2 + x^3
u = [1011]
- proto v
u(x)
neníx
(druhá pozice)
- proto v
u(x) \cdot x = x + x^3 + x^4
x^4
převedeme na 1
$$
= x^3 + 2x^2 + x + 3 + x^2 + 3x + 4 = x^3 + 3x^2 + 4x + 2
Př. 3: Vypočítejte v Z_{2}/x^4-1
(x^2 + 1) * (x^2 + x + 1)
$$
\cancel{x^4} + x^3 + \cancel{x^2 + x^2} + x + \cancel{1} = x^3 + x
Př. 4: Binární cyklický kód vznikne ze slova 110110 cyklickými posuvy a součty. Určete všechny značky kódu K
, generující mnohočlen g(x)
, kontrolní mnohočlen h(x)
, generující matici G
a kontrolní matici H
.
značky:
- vždy posunuté o jednu pozici doleva
u_{1} = [110110]
u_{2} = [011011]
u_{3} = [101101]
u_{1} + u_{2} = [101101] = u_{3}
u_{1} + u_{3} = [011011] = u_{2}
u_{2} + u_{3} = [110110] = u_{1}
u_{1} + u_{2} + u_{3} = [000000]
- 4 unikátní značky
rozměry:
k = 2
n = 6
- stupeň
g(x) = n-k = 4
generující mnohočlen:
- je nenulový a má nejnižší stupeň ze všech značek
g(x) = 1 + x + x^3 + x^4
(u_{1}
)- prvky
g_{0}, g_{1}, g_{2}, g_{4}, g_{5}
kontrolní mnohočlen:
h(x) = x^n - 1 : g(x)
h(x) = (x^6 + 1) : (x^4 + x^3 + x + 1) = x^2 + x + 1
(x^6 + 1) : (x^4 + x^3 + x + 1) = x^2 + x + 1
-(x^6 + x^5 + x^3 + x^2)
x^5 + x^3 + x^2 + 1
- (x^5 + x^4 + x^2 + x)
x^4 + x^3 + x + 1
-(x^4 + x^3 + x + 1)
\emptyset
generující matice:
- první řádek je
g(x)
- další řádky jsou vždy násobené
x
, tedy posunuté o jednu pozici doleva - nenulový pás z horního levého rohu do dolního pravého
$$
G = \begin{bmatrix}
1 & 1 & 0 & 1 & 1 & 0 \
0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 1
\end{bmatrix}
kontrolní matice:
- první řádek je obráceně, tedy
h_{5}, h_{4}, h_{3}, h_{2}, h_{1}, h_{0}
- každý další řádek posunutý o jednu pozici doprava
- nenulový pás z horního pravého rohu do dolního levého rohu
$$
H = \begin{bmatrix}
0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 \
0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 0 \
0 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 \
1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0
\end{bmatrix}
Př. 5: Vytvořte cyklický kód pro kódování čtyřprvkových informační částí. Generující mnohočlen je g(x) = 1 + x + x^3
. Kódování proveďte jak pomocí generující matice, tak i pomocí generujícího mnohočlenu.
rozměry:
k = 4
n - k = 3
\implies n = 7
generující matice:
$$
G = \begin{bmatrix}
1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \
0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 \
0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0 \
0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 1
\end{bmatrix}
kódování pomocí G
:
u = [1110]^\text{T}\quad (1 + 2 + 4 = 7)
- označím 1., 2. a 3. řádek (tyto pozice jsou v
u
nenulové)- poté sčítám v
G
vetikálně dov
- poté sčítám v
v = [1000110]^\text{T}
- první, třetí a čtvrtý prvek přenášen čistě (na poziciích 1, 6 a 7)
kódování pomocí g(x)
:
v(x) = u(x) \cdot g(x) = (1 + x + x^2) \cdot (1 + x + x^3)
= (1 + x + x^3) + (x + x^2 + x^4) + (x^2 + x^3 + x^5) = 1 + x^4 + x^5
číslo | informační část | kód | |
---|---|---|---|
0 | 0000 |
0000000 |
|
1 | 1000 |
1101000 |
+ |
2 | 0100 |
0110100 |
+ |
3 | 1100 |
1011100 |
o |
4 | 0010 |
0011010 |
+ |
5 | 1010 |
1110010 |
o |
6 | 0110 |
0101110 |
o |
7 | 1110 |
1000110 |
+ |
8 | 0001 |
0001101 |
+ |
9 | 1001 |
1100101 |
o |
10 | 0101 |
0111001 |
o |
11 | 1101 |
1010001 |
+ |
12 | 0011 |
0010111 |
o |
13 | 1011 |
1111111 |
|
14 | 0111 |
0100011 |
+ |
15 | 1111 |
1001011 |
o |
Pozn.: Označené kódy jsou posuvy toho prvního označeného.