5.4 KiB
Determinant matice
Permutace
Vzájemně jednoznačné zobrazení konečné množiny na sebe.
$$
\pi_{1} = \begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 & 4 & 5 \
5 & 3 & 2 & 1 & 4
\end{pmatrix} \qquad \pi_{2} = \begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 & 4 & 5 \
2 & 4 & 3 & 1 & 5
\end{pmatrix}
Můžeme je skládat (stejně jako funkce):
$$
\pi_{1} \circ \pi_{2} = \begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 & 4 & 5 \
5 & 3 & 4 & 2 & 1
\end{pmatrix} \qquad \pi_{2} \circ \pi_{1} = \begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 & 4 & 5 \
1 & 3 & 2 & 5 & 4
\end{pmatrix}
Transpozice
Permutace \pi
, pro kterou existují i, j
takové, že \pi(i) = j, \pi(j) = i
a \pi(k) = k
pro všechna k \neq i, j
.
- v transpozici dojde pouze k prohození dvou prvků
$$
J_{1} = \begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 & 4 & 5 \
1 & 4 & 3 & 2 & 5
\end{pmatrix} \qquad J_{2} = \begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 & 4 & 5 \
2 & 1 & 3 & 4 & 5
\end{pmatrix}
Každá permutace se dá vyjádřit jako složení konečného počtu transpozic.
$$
\pi_{2} = \begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 & 4 & 5 \
2 & 4 & 3 & 1 & 5
\end{pmatrix} = J_{1} \circ J_{2} = \begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 & 4 & 5 \
1 & 4 & 3 & 2 & 5
\end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 & 4 & 5 \
2 & 1 & 3 & 4 & 5
\end{pmatrix}
Znázornění jednotlivých transpozic (směrem dolů):
$$
\downarrow \quad \begin{matrix}
\text{začátek} & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \
J_{1} & 1 & \mathbf{4} & 3 & \mathbf{2} & 5\
J_{2} & \mathbf{2} & 4 & 3 & \mathbf{1} & 5
\end{matrix}
Znaménko permutace \pi
Permutace je sudá nebo lichá podle sudého nebo lichého počtu transpozic.
$$
zn(\pi) = \begin{cases}1, \text{je-li } \pi \text{ sudá} \ -1, \text{je-li } \pi \text{ lichá}\end{cases}
Znaménko permutace vzniklé složením dvou permutací se rovná součinu znamének každé permutace.
zn(\pi_1 \circ \pi_{2}) = zn(\pi_{1}) \cdot zn(\pi_{2})
Determinant
Determinantem čtvercové matice A = [a_{ij}]
řádu n
nazveme číslo
\det(A) = \sum_{\pi}^{} zn(\pi)a_{1\pi(1)}a_{2\pi(2)}\dots a_{n\pi(n)}
kde sčítáme přes všechny permutace na množině \{1, 2, \dots, n\}
.
- determinant je suma všech permutací vzniklých z diagonálního řádku matice, kde sudá permutace je s kladným znaménkem a lichá se záporným
- v součinu prvků v definici determinantu je z každého řádku a z každého sloupce vybrán právě jeden prvek
\det(A) = \det(A^{T})
Algebraický doplněk matice
Subdeterminant (minor) vzniklý z matice vynecháním $i$-tého řádku a $j$-tého sloupce.
(-1)^{i+j} \det A[\cancel{i/j}]
Symbolem A[\cancel{i/j}]
značíme matice A s vynechaným $i$-tým řádkem a $j$-tým sloupcem.
Rozvoj podle i-tého řádku (sloupce)
Nechť A je čtvercová matice řádu n
a i \in {\{ 1, 2, \dots, n \}}
.
\displaystyle \det(A) = a_{i1}A_{i1}+a_{i2}A_{i2} + \dots + a_{in}A_{in} = \sum_{j=1}^{n}a_{ij}A_{ij}
Elementární úpravy:
- prohození dvou řádků matice
- obracím znaménko
- vynásobení (vydělení) řádku matice nenulovým číslem
- vytknu číslo před determinant
- přičtení $k$-násobku $i$-tého řádku k $j$-tému
Pro determinanty můžeme využívat analogicky i sloupcové elementární úpravy, protože \det(A) = \det(A^T)
.
Rozvojem se řeší všechny determinanty řádu \geq 4
.
Vlastnosti determinantu
\det I = 1
- Výměna řádků otočí znaménko
- Vynásobení řádku číslem
a
znamenáa \cdot \det \dots
\displaystyle\begin{bmatrix}a+a' & b+b' \\ c & d\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}a & b \\ c & d\end{bmatrix} + \begin{bmatrix}a' & b' \\ c & d\end{bmatrix}
- Dva stejné řádky/sloupce
\implies \det A = 0
- Řádek/sloupec samých nul
\implies \det A = 0
- Přičtení $a$-násobku jiného řádku
\implies \det A
je stejný - Trojúhelníková matice
\implies \det A
je součin prvků na diagonále - Singulární matice
\implies \det A = 0
(nesingulární\implies \det A \neq 0
) \det A \cdot B = \det A \cdot \det B\quad\left( \det A^{-1} = \frac{1}{\det A} \right)
\det A^T = \det A
Věty
Nechť matice B vznikne z matice A prohozením dvou řádků (sloupců). Potom \det(B) = -\det(A)
.
- DK: Prohozením dvou řádků (sloupců) se změní počet transpozic v každé permutaci o 1, tedy znaménka se změní v opačná. Z definice determinantu pak plyne, že determinant vyjde opačný k
\det(A)
.
Má-li matice A dva stejné řádky nebo sloupce, potom \det(A) = 0
.
- DK: Matice B vznikne z matice A prohozením dvou stejných řádků (sloupců).
- musí platit zároveň, že:
\det(B) = -\det(A)
z předchozí věty, tedy0 = -0
- matice
B = A
, tedy\det(B) = \det(A)
, proto0 = 0
- Z toho plyne, že determinant je nulový, tedy
\det(A)=\det(B)=0
.
Nechť matice B vznikne z matice A vynásobením $i$-tého řádku (sloupce) číslem c
. Potom \det(B) = c \cdot \det(A)
.
- DK: Rozvoj v matici B podle $i$-tého řádku:
\det(B) = (c \cdot a_{i1} \cdot A_{i1} + c \cdot a_{i2} \cdot A_{i2} + \dots + c \cdot a_{in} \cdot A_{in}) =
c \cdot (a_{i1} \cdot A_{i1} + a_{i2} \cdot A_{i2} + \dots + a_{in}*A_{in}) = c \cdot det(A)
Má-li matice A nějaký řádek nebo sloupec nulový, potom \det(A) = 0
- DK: Rozvojem podle nulového řádku (či sloupce).
Nechť matice B vznikne z matice A přičtením $c$-násobku $i$-tého řádku (slupce) k $j$-tému řádku (sloupci) (i \neq j
). Potom \det(B) = \det(A)
.
Nechť A, B jsou matice řádu n
. Potom \det(A \cdot B) = det(A) \cdot det(B)
.