2.6 KiB
Zadání
Podél rovnoměrně se otáčející tyče se od jejího upevnění rovnoměrně pohybuje kulička. Určete: parametrické rovnice dráhy kuličky, velikost rychlosti kuličky a její celkové, tečné a normálové zrychlení.
\omega = \text{konst.}
(rotace tyče)v_{0} = \text{konst.}
(pohyb kuličky podél tyče)- parametrická rovnice trajektorie kuličky = ?
- velikost rychlosti kuličky v = ?
- celkové (
a = \ ?
), tečné (a_{t} = \ ?
) a normálové (a_{n} = \ ?
) zrychlení
\alpha = \omega \cdot t
r = v_{0} \cdot z
r = \sqrt{ v_{x}^2 + v_{y}^2 }
- parametrická rovnice trajektorie kuličky
x = \cos \alpha \cdot r = v_{0}\cdot \cos(\omega t)
y = \sin \alpha \cdot r = v_{0}\cdot \sin(\omega t)
- umocníme na druhou a sečteme
x^2 + y^2 = (v_{0}t)^2 \cdot [\cos^2(\omega t) + \sin^2(\omega t)] = (v_{0}t)^2 \cdot 1
x^2 + y^2 = (v_{0}t)^2
... rovnice rovinné spirály
\displaystyle v_{x} = \frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}[v_{0} t \cdot \cos(\omega t)] = v_{0} \cos(\omega t) - v_{0}\omega t \sin(\omega t)
\displaystyle v_{y} = \frac{dy}{dt} = \frac{d}{dt}[v_{0}t \cdot \sin(\omega t)] = v_{0} \sin(\omega t) + v_{0}\omega t \cos(\omega t)
Výpočet
\displaystyle r = \sqrt{ [v_{0} \cos(\omega t) - v_{0}\omega t \sin(\omega t)]^2 + [v_{0} \sin(\omega t) + v_{0}\omega t \cos(\omega t)]^2 } = v_{0} \cdot \sqrt{ 1 + (\omega t)^2 }
\displaystyle a_x = \frac{dv_{x}}{dt} = \frac{d}{dt}[v_{0} \cos(\omega t) - v_{0}\omega t \sin(\omega t)] = \dots = -2 \cdot v_{0} \cdot \omega \sin(\omega t) - v_{0} \cdot \omega^2 t \cos(\omega t)
\displaystyle a_{y} = \frac{dv_{y}}{dt} = \frac{d}{dt}[v_{0} \sin(\omega t) + v_{0}\omega t \cos(\omega t)] = \dots = 2 \cdot v_{0} \cdot \omega \cos(\omega t) - v_{0} \cdot \omega^2 t \sin(\omega t)
Výsledek
\displaystyle a = \sqrt{ a_{t}^2 + a_{n}^2 } = \sqrt{ 4 v_{0}^2 \cdot \omega^2 + (v_{0} \cdot \omega^2 t)^2 } = v_{0} \cdot \omega \cdot \sqrt{ 4 + (\omega t)^2 }
\displaystyle a_{t} = \frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt}[ v_{0} \cdot \sqrt{ 1 + (\omega t)^2 } ] = v_{0} \cdot \frac{1}{\cancel{2}}[1 + (\omega t)^2]^\frac{-1}{2} \cdot \cancel{2}(\omega t) \cdot \omega = \frac{v_{0} \cdot \omega^2 \cdot t}{\sqrt{ 1+(\omega t)^2 }}
\displaystyle a_{n} = \frac{v^2}{R} \quad
R neznáme, ale známe \displaystyle a = \sqrt{ a^2_{t} + a^2_{n} }
\displaystyle a_{n} = \sqrt{ a^2 - a^2_{t} } = \sqrt{ v_{0}^2 \cdot \omega^2 \cdot [4 + (\omega t)^2] - \frac{v_{0}^2 \cdot \omega^4 \cdot t^2}{1 + (\omega t)^2} } = \dots = \frac{v_{0} \cdot \omega \cdot [2 + (\omega t)^2]}{\sqrt{ 1 + (\omega t)^2 }}