25 lines
No EOL
1.4 KiB
Markdown
25 lines
No EOL
1.4 KiB
Markdown
# Hodnost matice
|
|
|
|
- počet nenulových řádků matice
|
|
- počet lineárně nezávislých vektorů prostoru generujícího řádky (dimenzi tohoto prostoru) a zároveň počtu lineárně nezávislých vektorů generující prostor sloupcový (dimenze tohoto prostoru)
|
|
|
|
#### Dělení matic
|
|
- **Regulární matice**
|
|
- její hodnost se rovná jejímu řádu - $hod(A) = n$
|
|
- její determinant je nenulový - $\det{A} \neq 0$
|
|
- každou regulární matici lze řádkovými elementárními úpravami převést na jednotkovou matici
|
|
- existuje k ní inverzní matice - $\mbox{existuje } A^{-1}$
|
|
- **Singulární matice**
|
|
- její hodnost se je menší než její řádu - $hod(A) < n$
|
|
- její determinant je 0 - $\det{A} = 0$
|
|
- neexistuje k ní inverzní matice - $\mbox{neexistuje } A^{-1}$
|
|
|
|
### Určení hodnosti pomocí determinantu
|
|
- determinant trojúhelníkové matice je roven součinu prvků na hlavní diagonále
|
|
|
|
- determinant libovolné čtvercové podmatice řádu m se nazývá **minořem řádu** m matice A
|
|
- nechť A je matice => hod(A) = m právě tehdy, když v A existuje nenulový minor řádu m a zároveň každý minor řádu většího než m je nulový
|
|
|
|
- nechť A je čtvercová řádu n => **hod(A) = n**, **pokud det(A) se nerová 0**
|
|
- DK: podle předchozí věty je hod(A) = n <=> v A existuje nenulový minor řádu n
|
|
- víme, že jedinému minoru řádu n odpovídá celá matice A => **hod(A) = n** <=> **det(A) se nerovná 0** |