2.2 KiB
2.2 KiB
Kvadratické formy
Kvadratická forma
- A => reálná symetrická matice řádu n
- kvadratická forma určená maticí A je zobrazení
\kappa (x) = x^{T}Ax
- nechť A je reálná symetrická matice =>
-
- všechna vlastní čísla matice A jsou reálná
-
- ke každému vlastnímu číslu existuje reálný vlastní vektor
-
- vlastní vektory příslušející různým vlastním číslům jsou ortogonální
-
- reálná symetrická matice A řádu n má n ortogonálních reálných vlastních vektorů
Zákon setrvačnosti kvadratických forem
- je-li kvadratická forma vyjádřena dvěma způsoby jako lineární kombinace čtverců souřadnic vzhledem ke dvěma bázím => v obou vyjádřeních je stejný počet kladných, záporných i nulových koeficientů
Inercie kvadratické formy
- Nechť
\kappa (x) = x^{T}Ax
je kvadratická forma, A reálná symetrická matice- k - počet kladných čísel A
- z - počet záporných čísel A
- d - počet nulových čísel A
- trojici čísel (k, z, d) nazýváme inercií kvadratické formy
- značíme in(
\kappa
) = (k, z, d)
Druhy inercií
- pozitivně definitní => in(
\kappa
) = (k, 0, 0) - negativně definitní => in(
\kappa
) = (0, z, 0) - pozitivně semidefinitní => in(
\kappa
) = (k, 0, d), d > 0 - negativně semidefinitní => in(
\kappa
) = (0, z, d), d > 0 - indefinitní => in(
\kappa
) = (k, z, d)- k > 0, z > 0
Hlavní minory
- Nechť A = [
a_{ij}
] reálná symetrická matice řádu n aA_k
je její podmatice obsahující prvkya_{11}, a_{12}, ..., a_{kk}
=> číslo det(A_k
) nazveme hlavním minorem matice A řádu k a značí se\Delta _{k}
Definitnost kvadratické formy (Sylvestorovo kriterium)
- Nechť A reálná symetrická matice řádu n s hlavními minory
\Delta _{1}, \Delta _{2}, ... , \Delta _{n} \neq 0
- Kvadratická forma
\kappa (x) = x^{T}Ax
je pozitivně definitní =>\Delta _{i} > 0
pro každé i z {1, 2, ..., n} - Kvadratická forma
\kappa (x) = x^{T}Ax
je negativně definitní =>\Delta _{i} > 0
pro každé i z {1, 2, ..., n} sudé a\Delta _{i} < 0
pro každé i z {1, 2, ..., n} liché