3.3 KiB
3.3 KiB
Stacionární iterační metody pro soustavy lineárních algebraických rovnic. Jacobiho a Gaussova-Seidelova metoda, SOR metoda. Nutná a postačující podmínka konvergence iterační metody, postačující podmínka konvergence iterační metody.
Iterační metody
- používány pro řídké matice
Obecný zápis
Ax - b = 0 \leftrightarrow F(x) = 0
přepíšeme na tvarx = Hx+g \leftrightarrow x = \Phi(x)
- iterační formule ...
x^{(k+1)} = H \cdot x^{(k)} + g
H
rozhoduje o kvalitě metody
- počáteční aproximace
x^{(0)}
, zastavovací podmínka\Vert x^{(k)}-c^{(k-1)}\Vert < \epsilon
Jacobiho metoda
- z $i$-té rovnice vyjádřím $i$-tou složku vektoru
x
- $i$-tá rovnice ...
a_{i1}x_{1} + a_{i2}x_{2} + \dots a_{in}x_{n} = b_{i}
- $i$-tá rovnice ...
- iterační formule
\displaystyle x_{i}^{(k+1)} = \frac{1}{a_{ii}}\left( b_{i} - \sum^n_{j=1; j\neq i} a_{ij}x_{j}^{(k)} \right)
proa_{ii} \neq 0
H
... řádky jsou jednotlivá vyjádřeníx_{i}
g
... sestavený z členů bezx
ve vyjádřeníx_{i}
Gaussova-Seidelova metoda
- stejný princip jako u Jacobihovy metody, ale pokud při výpočtu $(k+1)$-iterace již známe
(k+1)
iteraci u některých složek, tak ji použijeme - iterační formule
\displaystyle x_{i}^{(k+1)} = \frac{1}{a_{ii}}\left( b_{i} - \sum^{i-1}_{j=1} a_{ij}x_{j}^{(k+1)} - \sum^{n}_{j=i+1} a_{ij} x_{j}^{(k) }\right)
SOR metoda
- princip
- vychází z Gauss-Seidelovy metody
- vyjádříme $(k+1)$-iteraci pomocí $k$-té iterace a změny ...
x_{i}^{(k+1)} = x_{i}^{(k)} + r_{i}^{(k)}
- idea: k urychlení nepřičteme změnu
r_{i}^{(k)}
ale její násobek\omega\cdot r_{i}^{(k)}
- iterační formule
\displaystyle x_{i}^{(k+1)} = \omega\cdot x_{i,GS}^{(k+1)} + (1-\omega)x_{i}^{(k)}
- lineární kombinace $(k+1)$-iterace GS-metody a $k$-té iterace metody SOR
- volba
\omega
- musíme si zvolit parametr
\omega
- tento parametr může metodu zhoršit či vylepšit oproti GS
- vzorec, který (ne vždy) dokáže vypočítat optimální
\omega
\displaystyle\omega_\text{opt} = \frac{2}{1 + \sqrt{ 1- \rho(H_{J}) }}
\rho(H_{J})
... spektrální poloměr Jacobiho maticeH
- musíme si zvolit parametr
Konvergence iteračních metod
\displaystyle\lim_{ x \to \infty } x^{(k)} = x^*
Nutná a postačující podmínka konvergence
\rho(H) = \max|\lambda_{i}(H)| < 1 \Longleftrightarrow
metoda konverguje\Longleftrightarrow
úloha je stabilní\rho(H)
... spektrální poloměr maticeH
= maximální vl. číslo maticeH
v abs. hodnotě
- čím blíž bude spektrální poloměr 1, tím bude metoda pomalejší
- snaha, dostat ho co nejvíce k 0
Postačující podmínka konvergence
\Vert H\Vert \leq q < 1 \implies
metoda je konvergentní- multiplikativní maticová norma:
\Vert A\cdot B\Vert \leq \Vert A\Vert\cdot\Vert B\Vert
- multiplikativní maticová norma:
- podmínka pro konvergenci SOR
\rho(H_{SOR}) \geq |\omega-1| \quad \forall \omega \in R
Konvergenční věty
- podmínky pro
H
jsou nepraktické,H
je těžko spočitatelná A
je ostře diagonálně dominantní\implies
konverguje Jacobiho i GS metoda pro libovolnou volbux_{0}
A
je symetrická a poz. definitní\implies
konverguje GS metoda- SOR metoda konverguje
\implies 0 < \omega < 2
A
je symetrická a poz. definitní,0 < \omega < 2 \implies
SOR metoda konverguje