4.4 KiB
4.4 KiB
Základní pojmy. Matematický model, matematická úloha, korektní úloha, podmíněnost úlohy, číslo podmíněnosti, podmíněnost a stabilita algoritmu. Příklady.
Proces modelování (kroky)
- reálný problém
- matematický model
- reálný problém popisuje matematickými veličinami a vztahy
- matematická úloha
- určení, které veličiny známe a které počítáme
- numerická úloha
- neznáme metodu pro nalezení přesného řešení, volíme přibližnou metodu
- problém např. musíme diskretizovat
- chyba metoda (chyba diskretizace)
- algoritmus
- TODO
- implementace
- analýza výsledků
Korektní úloha
Definice (úloha)
- Mějme dány dvě množiny
X(vstupní data) aY(výstupní data). Předpokládejme, žeX, Yjsou Banachovy prostory (úplné + normovaný). Úlohou rozumíme relaciy = U(x); \, x \in X_{i}; \, y \in Y.
Definice (korektní úloha)
- Úloha je korektní na dvojici prostorů
(X,Y), když:\forall \, x \in X \quad \exists! \, y \in Y: \quad y = U(x)... zobrazení\forall \, \{x_{n}\}: x_{n} \to x_{i} \cup (x_{n}) = y_{n} : y_{n} \to y = U(x)- řešení
yspojitě závisí na vstupních datech
- řešení
Podmíněnost úlohy
Definice (dobrá podmíněnost)
- Úloha je dobře podmíněná, jestliže malá relativní změna na vstupu vyvolá malou relativní změnu řešení. Číslo podmíněnosti
- je-li
C_{p} \approx_{1}, úloha je velmi dobře podmíněná - v praxi hovoříme o špatně podmíněné úloze pro
C_{p} \geq 100 \displaystyle C_{p} = \frac{\frac{\Vert \Delta y\Vert}{\Vert y\Vert}}{\frac{\Vert \Delta x\Vert}{\Vert x\Vert}}\displaystyle\frac{\Vert\Delta y\Vert}{\Vert y\Vert} = \frac{\vert U(\overline{x}+ \Delta x) - U(\overline{x}) \vert}{\vert U(\overline{x}) \vert}- horní část - relativní chyba na výstupu
y - dolní část - relativní chyba na vstupu
x
Stabilita a podmíněnost algoritmu
Stabilní algoritmus
- dobře podmíněný - málo citlivý na poruchy ve vstupních datech
- numericky stabilní - málo citlivý na vliv zaokrouhlovaných chyb
Nestabilní algoritmus
- relativně malé chyby v jednotlivých krocích se akumulují tak, že dojde ke katastrofální ztrátě přesnosti řešení
U stabilních metod roste chyba výsledku nejvýše lineárně.
- sčítáním a odčítáním můžeme ztratit hodně informací (desetinných míst) - to může vést k nestabilitě
- reziduum
r = b-A\overline{x}- míra chyby mezi přesným a přibližným řešením
- vyjde nula, když dostaneme přesné řešení
- chyba
e = \overline{x} - x^*- rozdíl mezi přibližným a přesným výsledkem
- když se nám rapidně zvyšuje chyba, ale reziduum je stále blízké nule, tak se jedná o nestabilní algoritmus
Příklady - podmíněnost
Posuďte podmíněnost úlohy určit hodnotu fce y = \sin(x).
- a) v bodě
3.14\overline{x} = 3.14, \Delta x = 0.01- malá změna na vstupuy = \sin \overline{x} \approx 1.5327\cdot10^{-3}\sin(\overline{x}+\Delta x) = -8.4072\cdot10^{-3}
- relativní změna na vstupu:
\displaystyle\frac{\Vert\Delta x\Vert}{\Vert\overline{x}\Vert} = \frac{0.01}{3.14} \doteq 0.0031847 - relativní změna na výstupu:
\displaystyle\frac{\Vert\Delta y\Vert}{\Vert y\Vert} = \frac{\Vert\sin(\overline{x}+\Delta x) - \sin \overline{x}\Vert}{\Vert\sin \overline{x} \Vert} \doteq 6.2789149 C_{p} \doteq 1971.6- špatně podmíněná úloha
- b) v bodě
-0.1\overline{x} = -0.01, \Delta x = 0.01y = \sin \overline{x} = -0.0099998\sin(\overline{x} + \Delta x) = \sin 0 = 0- relativní změna na vstupu:
\displaystyle\frac{\Vert \Delta x\Vert}{\Vert \overline{x}\Vert} = \frac{0.01}{0.01} = 1 - relativní změna na výstupu:
\displaystyle\frac{\Vert \Delta y\Vert}{\Vert y\Vert} = \frac{0.0099998}{0.0099998} = 1 \displaystyle C_{p} = \frac{1}{1} = 1- velmi dobře podmíněná úloha
Obecně
- úloha má tvar
y = f(x) - z věty o stř. hodnotě:
\vert \Delta y\vert \approx \vert f'(x)\vert \cdot \vert \Delta x\vert - dosadíme:
\displaystyle\left|\frac{\Delta y}{y}\right| \approx \left| \frac{f'(x)\cdot|\Delta x|}{f(x)}\right| - rozšíříme
\displaystyle\cdot \left|\frac{x}{x}\right|:\displaystyle\left| \frac{\Delta y}{y} \right| \approx \left| \frac{f'(x)\cdot x}{f(x)} \right| \cdot \left| \frac{\Delta x}{x} \right| \displaystyle C_{p} = \left| \frac{x\cdot f'(x)}{f(x)} \right|