1.4 KiB
1.4 KiB
Hodnost matice
- počet nenulových řádků matice
- počet lineárně nezávislých vektorů prostoru generujícího řádky (dimenzi tohoto prostoru) a zároveň počtu lineárně nezávislých vektorů generující prostor sloupcový (dimenze tohoto prostoru)
Dělení matic
- Regulární matice
- její hodnost se rovná jejímu řádu -
hod(A) = n - její determinant je nenulový -
\det{A} \neq 0 - každou regulární matici lze řádkovými elementárními úpravami převést na jednotkovou matici
- existuje k ní inverzní matice -
\mbox{existuje } A^{-1}
- její hodnost se rovná jejímu řádu -
- Singulární matice
- její hodnost se je menší než její řádu -
hod(A) < n - její determinant je 0 -
\det{A} = 0 - neexistuje k ní inverzní matice -
\mbox{neexistuje } A^{-1}
- její hodnost se je menší než její řádu -
Určení hodnosti pomocí determinantu
-
determinant trojúhelníkové matice je roven součinu prvků na hlavní diagonále
-
determinant libovolné čtvercové podmatice řádu m se nazývá minořem řádu m matice A
-
nechť A je matice => hod(A) = m právě tehdy, když v A existuje nenulový minor řádu m a zároveň každý minor řádu většího než m je nulový
-
nechť A je čtvercová řádu n => hod(A) = n, pokud det(A) se nerová 0
- DK: podle předchozí věty je hod(A) = n <=> v A existuje nenulový minor řádu n
- víme, že jedinému minoru řádu n odpovídá celá matice A => hod(A) = n <=> det(A) se nerovná 0