Doplnění a úpravy poznámek z LAA
This commit is contained in:
parent
c6c0d842be
commit
eae97e35a9
3 changed files with 28 additions and 6 deletions
|
@ -8,7 +8,7 @@ $$p(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + . . . + a_{1}x + a_0 \ \ \ \forall x \in C, a
|
||||||
|
|
||||||
neboli
|
neboli
|
||||||
|
|
||||||
$$\displaystyle p(x) = \sum^n_{i=0} a_{i}x^i$$
|
$$\displaystyle p(x) = \sum^n_{i=0} a_{i}x^i.$$
|
||||||
|
|
||||||
Hodnoty $a_i$ nazýváme **koeficienty** polynomu $p(x)$.
|
Hodnoty $a_i$ nazýváme **koeficienty** polynomu $p(x)$.
|
||||||
|
|
||||||
|
|
|
@ -4,6 +4,8 @@
|
||||||
- $V = R^3$ - po zobrazení
|
- $V = R^3$ - po zobrazení
|
||||||
- $\mathbb{L} : U \to V$
|
- $\mathbb{L} : U \to V$
|
||||||
|
|
||||||
|
Nazývá se také **homomorfizmus**.
|
||||||
|
|
||||||
### Ověření linearity zobrazení
|
### Ověření linearity zobrazení
|
||||||
|
|
||||||
- zkontrolovat, že platí
|
- zkontrolovat, že platí
|
||||||
|
@ -26,6 +28,10 @@ Zapíšu zobrazení do matice, po provedení GJEM zjistím, které prvky se zobr
|
||||||
|
|
||||||
Vypočítám jej opět zapsáním zobrazení do matice a provedením GJEM. Obrazem je poté LN množina vektorů (podobné jako u báze).
|
Vypočítám jej opět zapsáním zobrazení do matice a provedením GJEM. Obrazem je poté LN množina vektorů (podobné jako u báze).
|
||||||
|
|
||||||
|
### Identické zobrazení
|
||||||
|
|
||||||
|
Zobrazení definované vztahem $F(x) = (x)$.
|
||||||
|
|
||||||
### Prosté zobrazení
|
### Prosté zobrazení
|
||||||
|
|
||||||
Každý prvek z prostoru $U$ se zobrazí přesně na jeden prvek z prostoru $V$.
|
Každý prvek z prostoru $U$ se zobrazí přesně na jeden prvek z prostoru $V$.
|
||||||
|
@ -35,10 +41,14 @@ Každý prvek z prostoru $U$ se zobrazí přesně na jeden prvek z prostoru $V$.
|
||||||
|
|
||||||
Lineární zobrazení je **izomorfizmem**, pokud je **prosté** a zároveň $\dim(Im \space \mathbb{L}) = \dim(V)$.
|
Lineární zobrazení je **izomorfizmem**, pokud je **prosté** a zároveň $\dim(Im \space \mathbb{L}) = \dim(V)$.
|
||||||
|
|
||||||
### Matice lineárního zobrazení
|
## Matice lineárního zobrazení
|
||||||
|
|
||||||
Nejsnadnější způsob, jak počítačově popsat lineární zobrazení.
|
Nejsnadnější způsob, jak počítačově popsat lineární zobrazení.
|
||||||
|
|
||||||
|
Znázorňuje vztah souřadnicemi prvku vzhledem k jedné bázi a souřadnicemi zobrazení prvku vzhledem k druhé bázi.
|
||||||
|
- **Dimenze obrazu** lineárního zobrazení $\mathbb{L}$ je **stejná jako hodnost matice** lineárního zobrazení.
|
||||||
|
- Pokud je matice lineárního zobrazení **regulání**, lineární zobrazení je **izomorfizmus**.
|
||||||
|
|
||||||
**Postup**:
|
**Postup**:
|
||||||
- Určete matici zobrazení $\mathbb{L}$ v bázích $B_{1}$ a $B_{2}$.
|
- Určete matici zobrazení $\mathbb{L}$ v bázích $B_{1}$ a $B_{2}$.
|
||||||
1. Vektory první báze **zobrazím pomocí lineárního zobrazení**.
|
1. Vektory první báze **zobrazím pomocí lineárního zobrazení**.
|
||||||
|
@ -52,3 +62,13 @@ Nejsnadnější způsob, jak počítačově popsat lineární zobrazení.
|
||||||
Matice identického lineárního zobrazení vzhledem k bázím $B_{1}$ a $B_{2}$.
|
Matice identického lineárního zobrazení vzhledem k bázím $B_{1}$ a $B_{2}$.
|
||||||
|
|
||||||
Postup je stejný jako u matice lineárního zobrazení, jen prvky první báze nezobrazuji a rovnou je zapíšu do matice.
|
Postup je stejný jako u matice lineárního zobrazení, jen prvky první báze nezobrazuji a rovnou je zapíšu do matice.
|
||||||
|
|
||||||
|
### Složené zobrazení
|
||||||
|
|
||||||
|
Nechť $\mathbb{L}_{1} : U \to V, \mathbb{L}_{2} : V \to W$ a báze v $U, V, W$ jsou $C, D, E$. A je matice $\mathbb L_1$ vzhledem k bázím $C, D$ a $B$ je matice $\mathbb L_{2}$ vhledem k bázím $D, E$.
|
||||||
|
|
||||||
|
Složené zobrazení $\mathbb L = \mathbb L_{2} \circ \mathbb L_{1} : U \to W$ je lineární a jeho matice vzhledem k bázím $C, E$ je rovna matici $B \cdot A$.
|
||||||
|
|
||||||
|
Důsledky:
|
||||||
|
- Pro uvedené matice lin. zobr. platí: $hod(B \cdot A) \leq \min\{hod(A), hod(B)\}$.
|
||||||
|
- Pokud je lineární zobrazení izomorfizmus s maticí $A$ vzhledem k bázím $C, D$, potom inverzní zobrazení má vzhledem k bázím $D, C$ matici $A^{-1}$.
|
|
@ -34,14 +34,16 @@ Při změně báze se vlastní čísla ani vlastní vektory nemění. Vektory js
|
||||||
2. Vypočítáme GJEM z matice s dosazenou lambdou
|
2. Vypočítáme GJEM z matice s dosazenou lambdou
|
||||||
3. Pomocí $n-hod(\lambda I-A)$ zjistíme počet dosazovaných LN vektorů
|
3. Pomocí $n-hod(\lambda I-A)$ zjistíme počet dosazovaných LN vektorů
|
||||||
4. Do vlastního vektoru odzadu dosadíme LN vektory (pokud jen 1, dosadíme nenulové číslo)
|
4. Do vlastního vektoru odzadu dosadíme LN vektory (pokud jen 1, dosadíme nenulové číslo)
|
||||||
- běžně např $(x, 1, 0)$ a $(x, 0, 1)$
|
- běžně např. $(x, 1, 0)$ a $(x, 0, 1)$
|
||||||
5. Dopočítáme pomocí rovnic v matici zbytek souřadnic
|
5. Dopočítáme pomocí rovnic v matici zbytek souřadnic
|
||||||
např.: $h_{1} = [2, -1, 1]^T$
|
např.: $h_{1} = [2, -1, 1]^T$
|
||||||
|
|
||||||
Pokud nám chybí některé $h_{i}$ (máme vícenásobné vl. číslo ale $n-hod(\lambda I-A)$ vyjde menší), je možné $h_3$ dopočítat opakováním postupu pro $(\lambda I-A)\times x = -h_{2}$.
|
|
||||||
|
|
||||||
Vlastním vektorem $h_{1} = [2, -1, 1]$ se myslí $t\cdot [2, -1, 1], t\in R$
|
Vlastním vektorem $h_{1} = [2, -1, 1]$ se myslí $t\cdot [2, -1, 1], t\in R$
|
||||||
|
|
||||||
|
### Zobecněné vlastní vektory
|
||||||
|
|
||||||
|
Pokud nám chybí některé $h_{i}$ (máme vícenásobné vl. číslo ale $n-hod(\lambda I-A)$ vyjde menší), je možné $h_3$ dopočítat opakováním postupu pro $(\lambda I-A) = -h_{2}$, kde $-h2$ bude v pravém sloupci.
|
||||||
|
|
||||||
### Podobnost matic
|
### Podobnost matic
|
||||||
|
|
||||||
Matice $A$ a $B$ jsou podobné, jestli existuje matice $T$ taková, aby platilo $A = T^{-1}BT$.
|
Matice $A$ a $B$ jsou podobné, jestli existuje matice $T$ taková, aby platilo $A = T^{-1}BT$.
|
||||||
|
|
Loading…
Reference in a new issue