From eae97e35a9e3da2592264bc2b2838f3fffbd3c01 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Filip Znachor Date: Mon, 2 Jan 2023 17:14:06 +0100 Subject: [PATCH] =?UTF-8?q?Dopln=C4=9Bn=C3=AD=20a=20=C3=BApravy=20pozn?= =?UTF-8?q?=C3=A1mek=20z=20LAA?= MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=UTF-8 Content-Transfer-Encoding: 8bit --- KMA LAA/1. Polynomy.md | 2 +- KMA LAA/6. Lineární zobrazení.md | 24 +++++++++++++++++-- KMA LAA/8. Vlastní čísla a vlastní vektory.md | 8 ++++--- 3 files changed, 28 insertions(+), 6 deletions(-) diff --git a/KMA LAA/1. Polynomy.md b/KMA LAA/1. Polynomy.md index 66b5e72..fe22784 100644 --- a/KMA LAA/1. Polynomy.md +++ b/KMA LAA/1. Polynomy.md @@ -8,7 +8,7 @@ $$p(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + . . . + a_{1}x + a_0 \ \ \ \forall x \in C, a neboli -$$\displaystyle p(x) = \sum^n_{i=0} a_{i}x^i$$ +$$\displaystyle p(x) = \sum^n_{i=0} a_{i}x^i.$$ Hodnoty $a_i$ nazýváme **koeficienty** polynomu $p(x)$. diff --git a/KMA LAA/6. Lineární zobrazení.md b/KMA LAA/6. Lineární zobrazení.md index d9493d9..5d5ec9b 100644 --- a/KMA LAA/6. Lineární zobrazení.md +++ b/KMA LAA/6. Lineární zobrazení.md @@ -4,6 +4,8 @@ - $V = R^3$ - po zobrazení - $\mathbb{L} : U \to V$ +Nazývá se také **homomorfizmus**. + ### Ověření linearity zobrazení - zkontrolovat, že platí @@ -26,6 +28,10 @@ Zapíšu zobrazení do matice, po provedení GJEM zjistím, které prvky se zobr Vypočítám jej opět zapsáním zobrazení do matice a provedením GJEM. Obrazem je poté LN množina vektorů (podobné jako u báze). +### Identické zobrazení + +Zobrazení definované vztahem $F(x) = (x)$. + ### Prosté zobrazení Každý prvek z prostoru $U$ se zobrazí přesně na jeden prvek z prostoru $V$. @@ -35,10 +41,14 @@ Každý prvek z prostoru $U$ se zobrazí přesně na jeden prvek z prostoru $V$. Lineární zobrazení je **izomorfizmem**, pokud je **prosté** a zároveň $\dim(Im \space \mathbb{L}) = \dim(V)$. -### Matice lineárního zobrazení +## Matice lineárního zobrazení Nejsnadnější způsob, jak počítačově popsat lineární zobrazení. +Znázorňuje vztah souřadnicemi prvku vzhledem k jedné bázi a souřadnicemi zobrazení prvku vzhledem k druhé bázi. +- **Dimenze obrazu** lineárního zobrazení $\mathbb{L}$ je **stejná jako hodnost matice** lineárního zobrazení. +- Pokud je matice lineárního zobrazení **regulání**, lineární zobrazení je **izomorfizmus**. + **Postup**: - Určete matici zobrazení $\mathbb{L}$ v bázích $B_{1}$ a $B_{2}$. 1. Vektory první báze **zobrazím pomocí lineárního zobrazení**. @@ -51,4 +61,14 @@ Nejsnadnější způsob, jak počítačově popsat lineární zobrazení. Matice identického lineárního zobrazení vzhledem k bázím $B_{1}$ a $B_{2}$. -Postup je stejný jako u matice lineárního zobrazení, jen prvky první báze nezobrazuji a rovnou je zapíšu do matice. \ No newline at end of file +Postup je stejný jako u matice lineárního zobrazení, jen prvky první báze nezobrazuji a rovnou je zapíšu do matice. + +### Složené zobrazení + +Nechť $\mathbb{L}_{1} : U \to V, \mathbb{L}_{2} : V \to W$ a báze v $U, V, W$ jsou $C, D, E$. A je matice $\mathbb L_1$ vzhledem k bázím $C, D$ a $B$ je matice $\mathbb L_{2}$ vhledem k bázím $D, E$. + +Složené zobrazení $\mathbb L = \mathbb L_{2} \circ \mathbb L_{1} : U \to W$ je lineární a jeho matice vzhledem k bázím $C, E$ je rovna matici $B \cdot A$. + +Důsledky: +- Pro uvedené matice lin. zobr. platí: $hod(B \cdot A) \leq \min\{hod(A), hod(B)\}$. +- Pokud je lineární zobrazení izomorfizmus s maticí $A$ vzhledem k bázím $C, D$, potom inverzní zobrazení má vzhledem k bázím $D, C$ matici $A^{-1}$. \ No newline at end of file diff --git a/KMA LAA/8. Vlastní čísla a vlastní vektory.md b/KMA LAA/8. Vlastní čísla a vlastní vektory.md index b06c45d..e3430cf 100644 --- a/KMA LAA/8. Vlastní čísla a vlastní vektory.md +++ b/KMA LAA/8. Vlastní čísla a vlastní vektory.md @@ -34,14 +34,16 @@ Při změně báze se vlastní čísla ani vlastní vektory nemění. Vektory js 2. Vypočítáme GJEM z matice s dosazenou lambdou 3. Pomocí $n-hod(\lambda I-A)$ zjistíme počet dosazovaných LN vektorů 4. Do vlastního vektoru odzadu dosadíme LN vektory (pokud jen 1, dosadíme nenulové číslo) - - běžně např $(x, 1, 0)$ a $(x, 0, 1)$ + - běžně např. $(x, 1, 0)$ a $(x, 0, 1)$ 5. Dopočítáme pomocí rovnic v matici zbytek souřadnic např.: $h_{1} = [2, -1, 1]^T$ -Pokud nám chybí některé $h_{i}$ (máme vícenásobné vl. číslo ale $n-hod(\lambda I-A)$ vyjde menší), je možné $h_3$ dopočítat opakováním postupu pro $(\lambda I-A)\times x = -h_{2}$. - Vlastním vektorem $h_{1} = [2, -1, 1]$ se myslí $t\cdot [2, -1, 1], t\in R$ +### Zobecněné vlastní vektory + +Pokud nám chybí některé $h_{i}$ (máme vícenásobné vl. číslo ale $n-hod(\lambda I-A)$ vyjde menší), je možné $h_3$ dopočítat opakováním postupu pro $(\lambda I-A) = -h_{2}$, kde $-h2$ bude v pravém sloupci. + ### Podobnost matic Matice $A$ a $B$ jsou podobné, jestli existuje matice $T$ taková, aby platilo $A = T^{-1}BT$.