Doplnění vlastních čísel v LAA

KMA LAA/8. Vlastní čísla a vlastní vektory.md

@@ -2,18 +2,21 @@
 
 - $A \cdot \vec{u} = \lambda \cdot \vec{u}$
     - $\vec{u} \in U \smallsetminus \{o\}$
-
 - $(\lambda I-A) \cdot \vec{u} = o$
 
-#### Vlastní čísla
+## Vlastní čísla
 
 1. Vypočítáme determinant matice
-   $\det{(\lambda I - A)}$
+   $\det{(\lambda I - A)}$ -> výsledkem je **charakteristický polynom**
 2. V průběhu si zkusíme vytknout něco s lambdou, např. $(\lambda-5)$
-3. Výsledek zapíšeme ve tvaru $(\lambda-5)(\lambda+2)^2$ a získáme kořeny - vlastní čísla
+3. Výsledek zapíšeme ve tvaru $(\lambda-5)(\lambda+2)^2$ a získáme kořeny polynomu - vlastní čísla
 	 - $(\lambda_{1} = 5, \lambda_{2,3} = -2)$
 
-#### Vlastní vektory
+### Spektrum matice
+- soubor všech vlastních čísel
+- značí se $Sp(A)$
+
+## Vlastní vektory
 
 1. Dosadíme vlastní číslo za lambdu
 2. Vypočítáme GJEM z matice s dosazenou lambdou
@@ -26,7 +29,19 @@ Pokud nám chybí některé $h_{i}$ (máme vícenásobné vl. číslo ale $n-hod
 
 Vlastním vektorem $h_{1} = [2, -1, 1]$ se myslí $t\cdot [2, -1, 1], t\in R$
 
+### Regulární matice T
+
+Matice A a B jsou podobné, jestli existuje matice $T$ taková, aby platilo $A = T^{-1}BT$.
+- pokud je A podobná B, je zároveň B podobná A
+- platí tedy $TA = BT$ i $TAT^{-1} = B$
+
+Pokud jsou matice A a B podobné, mají stejné charakteristické polynomy i spektra.
+
 #### Jordanův kanonický tvar
 
 1. Na diagonálu dáme jednotlivá vlastní čísla
-2. Pokud jsme dopočítávali vlastní vektor pro některé vlastní číslo, je potřeba dát 1 nad diagonálu u Jordanova bloku
+2. Pokud jsme dopočítávali vlastní vektor pro některé vlastní číslo, je potřeba dát 1 nad diagonálu u Jordanova bloku
+
+### Lineární operátor
+
+- lineární zobrazení $\mathbb{L} : U \to U$