Přidání poznámek z NM k aproximaci funkce
This commit is contained in:
parent
aaaa7a4ad7
commit
c64860e09f
1 changed files with 98 additions and 0 deletions
98
KMA NM/Aproximace funkce.md
Normal file
98
KMA NM/Aproximace funkce.md
Normal file
|
|
@ -0,0 +1,98 @@
|
|||
# Aproximace funkce
|
||||
|
||||
## Aproximace v okolí bodu
|
||||
|
||||
V bodě bude mít nová funkce stejnou hodnotu, v okolních bodech bude její hodnota podobná.
|
||||
|
||||
### Taylorův polynom
|
||||
|
||||
Jedná se o aproximaci na okolí bodu pomocí Taylorova polynomu.
|
||||
- čím vyšší stupeň, tím více aproximuje funkci
|
||||
- $Tn(x) = f(x_{0}) + \frac{f'(x_{0})}{1!}\cdot(x-x_{0}) + \frac{f''(x_{0})}{2!} \cdot (x-x_{0})^2 + \dots + \frac{f^{(n)}}{n!}(x-x_{0})^n$
|
||||
|
||||
Chyba v daném bodu:
|
||||
- $e(x) = f(x) - Tn(x)$
|
||||
## Interpolace funkcí
|
||||
|
||||
Máme zadané body, které chceme proložit nějakou funkcí (hodnota funkce v bodech bude stejná).
|
||||
|
||||
### Lagrangeův interpolační polynom
|
||||
|
||||
| $i$ | 0 | 1 | 2 |
|
||||
| ---------- | --- | --- | --- |
|
||||
| $x_{i}$ | 0 | 1 | 3 |
|
||||
| $f(x_{i})$ | 1 | 2 | 0 |
|
||||
|
||||
$L_{2}(x) = f(x_{0})l_{0}(x) + f(x_{1})l_{1}(x) + f(x_{2})l_{2}(x)$
|
||||
- $l_{0}(x) = \frac{(x-1)(x-3)}{(0-1)(0-3)} = \frac{1}{3}(x-1)(x-3)$
|
||||
- $l_{1}(x) = \frac{(x-0)(x-3)}{(1-0)(1-3)} = -\frac{1}{2}x(x-3)$
|
||||
- $l_{2}(x) = \frac{(x-0)(x-1)}{(3-0)(3-1)} = \frac{1}{6}x(x-1)$
|
||||
|
||||
Poté dosadíme:
|
||||
- $L_{2}(x) = \dots$
|
||||
|
||||
### Newtonův polynom
|
||||
|
||||
$N_{n}(x) = a_{0} + a_{1}(x-x_{0}) + a_{2}(x-x_{0})(x-x_{1}) + \dots + a_{n}(x-x_{0})\dots (x-x_{n-1})$
|
||||
|
||||
| $i$ | 0 | 1 | 2 | 3 |
|
||||
| ---------- | --- | --- | --- | --- |
|
||||
| $x_{i}$ | 0 | 1 | -1 | 3 |
|
||||
| $f(x_{i})$ | 1 | 2 | 2 | 0 |
|
||||
|
||||
| $i$ | $x_{i}$ | $f(x_{i})$ | $\displaystyle\frac{f(x_{i}) - f(x_{i-1})}{x_{i} - x_{i-1}} = f^I(x_{i})$ | $\displaystyle\frac{f^I(x_{i}) - f^I(x_{i-1})}{x_{i} - x_{i-2}} = f^{II}(x_{i})$ | $\displaystyle\frac{f^{II}(x_{i}) - f^{II}(x_{i-1})}{x_{i} - x_{i-3}} = f^{III}(x_{i})$ |
|
||||
| --- | ------- | ---------- | ------------------------------------------------------------------------- | -------------------------------------------------------------------------------- | --------------------------------------------------------------------------------------- |
|
||||
| 0 | 0 | 1 | | | |
|
||||
| 1 | 1 | 2 | $\frac{2-1}{1-0} = 1$ | | |
|
||||
| 2 | -1 | 2 | $\frac{2-2}{-1-1} = 0$ | $\frac{0-1}{-1-0} = 1$ | |
|
||||
| 3 | 3 | 0 | $\frac{0-2}{3-(-1)} = -\frac{1}{2}$ | $\frac{-\frac{1}{2}-0}{3-1} = -\frac{1}{4}$ | $\frac{-\frac{1}{4}-1}{3-0} = -\frac{5}{12}$ |
|
||||
Na diagonále se nachází koeficienty $a_{0}, a_{1}, a_{2}, a_{3}$ Newtonova interpolačního polynomu, stačí je pouze dosadit.
|
||||
|
||||
### Nevilleův algoritmus
|
||||
|
||||
Umožní vypočítat pouze hodnotu polynomu $N_{n}(\alpha)$ v zadaném bodě $\alpha$.
|
||||
|
||||
Princip je podobný jako u Newtonova polynomu.
|
||||
1. $P_{i,0} = f(x_{i}); \quad i =0, 1, \dots, n$
|
||||
2. $P_{i,k} = P_{i,k-1} + (\alpha-x_{i}) \frac{P_{i,k-1} - P_{i-1,k-1}}{x_{i} - x_{i-k}};$
|
||||
3. $N_{n}(\alpha)$
|
||||
|
||||
**Příklad**:
|
||||
- $\alpha = 1.8$
|
||||
|
||||
| $x_{i}$ | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
|
||||
| ---------- | ------ | ------- | ------- | ------- | ------- |
|
||||
| $f(x_{i})$ | 1.0000 | 0.36788 | 0.13534 | 0.04979 | 0.01832 |
|
||||
- tabulku níže seřadíme podle vzdálenosti bodu $x_{i}$ od $\alpha$
|
||||
- pokud se hodnota na diagonále změní o méně než $\epsilon$, je možné skončit dříve
|
||||
|
||||
| $\vert\alpha-x_{i}\vert$ | $x_i$ | $f(x_{i}) = P_{i,0}$ | $P_{i,1}$ | $P_{i,2}$ | $P_{i,3}$ | $P_{i,4}$ |
|
||||
| ------------------------ | ----- | -------------------- | ----------- | ----------- | ----------- | ----------- |
|
||||
| 0.2 | 2 | **0.13534** | | | | |
|
||||
| 0.8 | 1 | 0.36788 | **0.18185** | | | |
|
||||
| 1.2 | 3 | 0.04979 | 0.24064 | **0.17009** | | |
|
||||
| 1.8 | 0 | 1.00000 | 0.42987 | 0.08926 | **0.16201** | |
|
||||
| 2.2 | 4 | 0.01832 | 0.5582 | 0.27583 | 0.13901 | **0.16431** |
|
||||
|
||||
### Kubická spline funkce
|
||||
|
||||
Interpolace plynomem není vždy vhodná, proto zavádíme interpolaci spline funkcemi.
|
||||
|
||||
**Lineární spline funkce** - jde o lomenou čárz spojující interpolované body
|
||||
|
||||
**Kubická spline funkce**
|
||||
- funkci na $\langle a,b\rangle$ aproximujeme vícero funkcemi (polynomy 3. stupně)
|
||||
- interval $\langle a,b\rangle$ rozdělíme na $n$ dílčích intervalů
|
||||
- jednotlivé funkce $\varphi_{i}(x)$ na každém intervalu $\langle x_{i},x_{i+1}\rangle$ mají tvar:
|
||||
- $\varphi_{i}(x) = a_{i} + b_{i}(x-x_{i}) + \frac{c_{i}}{2}(x-x_{i})^2 + \frac{d_{i}}{6}(x-x_{i})^3$
|
||||
|
||||
Podmínky interpolace:
|
||||
- spojitost funkce $\varphi$
|
||||
- $\varphi_{i-1}(x_{i}) = \varphi_{i}(x_{i})$
|
||||
- spojitost 1. derivace funkce $\varphi$
|
||||
- $\varphi'_{i-1}(x_{i}) = \varphi'_{i}(x_{i})$
|
||||
- spojitost 2. derivace funkce $\varphi$
|
||||
- $\varphi''_{i-1}(x_{i}) = \varphi''_{i}(x_{i})$
|
||||
- interpolační podmínky
|
||||
- $\varphi_{i}(x_{i}) = f(x_{i})$
|
||||
- je vhodné doplnit ještě další: podm. tečen, periodicity, přirozené podmínky
|
||||
Loading…
Reference in a new issue