Úpravy poznámek k lineárním zobrazením v LAA
This commit is contained in:
parent
03e89c2033
commit
7df71d0746
1 changed files with 38 additions and 15 deletions
|
@ -14,16 +14,31 @@ Vektorový prostor V nad tělesem K:
|
|||
- sčítání: $V + V \to V$
|
||||
- násobení: $K \cdot V \to V$
|
||||
|
||||
| typ | pro všechna | platí |
|
||||
| --- | ------------------------------------------------- | --------------------------------------------------------------- |
|
||||
| S | $\forall \vec{u}, \vec{v} \in V$ | $\vec{u} + \vec{v} = \vec{w}$ |
|
||||
| S | $\forall \vec{u}, \vec{v}, \vec{w} \in V$ | $\vec{u} + (\vec{v} + \vec{w}) = (\vec{u} + \vec{v}) + \vec{w}$ |
|
||||
| S | $\exists \vec{o} \in V : \forall \vec{u} \in V$ | $\vec{u} + \vec{o} = \vec{u}$ |
|
||||
| S | $\forall \vec{u} \in V \ \ \exists \vec{v} \in V$ | $\vec{u} + \vec{v} = \vec{o}$ |
|
||||
| N | $\forall \vec{u} \in V, \forall a, b \in K$ | $a \cdot (b \cdot \vec{u}) = (a \cdot b) \cdot \vec{u}$ |
|
||||
| N | $\forall \vec{u} \in V$ | $1 \cdot \vec{u} = \vec{u}$ |
|
||||
| D | $\forall \vec{u} \in V, \forall a, b \in K$ | $(a + b) \cdot \vec{u} = a\vec{u} + b\vec{u}$ |
|
||||
| D | $\forall \vec{u}, \vec{v} \in V, \forall a \in K$ | $a \cdot (\vec{u} + \vec{v}) = a\vec{u} + a\vec{v}$ |
|
||||
## Lineární vektorový prostor
|
||||
|
||||
**Lineární vektorový prostor nad tělesem $\mathbb T$** (nad $\mathbb{C}$ nebo $\mathbb{R}$) je neprázdná množina $\mathcal{V}$, kde pro každé $\vec x, \vec y, \vec z \in \mathcal{V}$ a pro každé $k, l \in \mathbb T$ platí:
|
||||
|
||||
| vlastnost | název |
|
||||
| ----------------------------------------------------------------------------------------------- | --------------- |
|
||||
| existuje právě jeden prvek $\vec u \in \mathcal{V}$ tak, že $\vec u = \vec x + \vec y$ | sčítání |
|
||||
| existuje právě jeden prvek $\vec u \in \mathcal{V}$ tak, že $\vec u = k \vec x$ | násobení |
|
||||
| $(\vec x + \vec y) + \vec z = \vec x + (\vec y + \vec z)$ | |
|
||||
| existuje prvek $\vec o \in \mathcal{V}$ takový, že $\vec x + \vec o = \vec o + \vec x = \vec x$ | neutrální prvek |
|
||||
| existuje prvek $-\vec{x}$ takový, že $\vec{x} + (-\vec{x}) = -\vec{x} + \vec{x} = \vec{o}$ | opačný prvek |
|
||||
| $(k+l)\vec x = k\vec x + l\vec x$ | |
|
||||
| $(kl)\vec x = k(l\vec x)$ | |
|
||||
| $1\vec x = \vec x$ | |
|
||||
| $k(\vec x + \vec y) = k\vec x + k\vec y$ | |
|
||||
|
||||
### Základní vlastnosti LVP
|
||||
|
||||
- nulový prvek je určen jednoznačně
|
||||
- je-li $\vec{x}+\vec{y}=\vec{x}+\vec{z}$, pak $\vec{y}=\vec{z}$
|
||||
- pro všechna $\vec{x} \in \mathcal{V}$ je opačný prvek $-\vec{x}$ určen jednoznačně
|
||||
- je-li $\vec{x}+\vec{y}=\vec{z}$, pak $\vec{x}=\vec{z}+(-\vec{y})$
|
||||
- pro všechna $\vec{x} \in \mathcal{V}$ a $k \in \mathbb{R}$ je $0\vec{x}=k\vec{o}=\vec{o}$
|
||||
- pro všechna $\vec{x} \in \mathcal{V}$ je $-1\vec{x}=-\vec{x}$
|
||||
- je-li $k\vec{x}=\vec{o}$, pak buď $k=0$ nebo $\vec{x}=\vec{o}$
|
||||
|
||||
### Podprostor
|
||||
|
||||
|
@ -34,6 +49,19 @@ Máme lineární vektorový prostor $V$ a jeho podprostor $U \subset V$, jestli
|
|||
|
||||
Každý podprostor vektorového prostoru je také vektorovým prostorem.
|
||||
|
||||
### Lineární kombinace
|
||||
|
||||
Prvek $\lambda_{1} \vec v_{1} + \lambda_{2} \vec v_{2} + \dots + \lambda_{k} \vec v_{k}$, kde $\vec v_{i}$ jsou prvky LVP $\mathcal{V}$ a $\lambda_{i}$ jsou koeficienty.
|
||||
|
||||
#### Lineární (ne)závislost
|
||||
|
||||
Prvky nazveme **lineárně nezávislými** (**LN**), jestliže se žádný z nich nedá vyjádřit lineární kombinací ostatních prvků. V opačném případě budou prvky **lineárně závislými** (**LZ**).
|
||||
|
||||
#### Lineární obal
|
||||
|
||||
Všechny lineární kombinace zadaných vektorů.
|
||||
- zapisujeme $\langle\vec{u}; \vec{v}\rangle = \{ \lambda_{1} \cdot \vec{u} + \lambda_{2} \cdot \vec{v} \}$
|
||||
|
||||
### Generující množina
|
||||
|
||||
Množina $M = \{\vec{v_{1}}, \vec{v_{2}}, \dots, \vec{v_{k}}\} \subseteq V$ generuje lineární vektorový prostor, jestliže se lineární kombinace všech prvků M rovná prostoru V, tedy $\langle M \rangle = V$.
|
||||
|
@ -73,11 +101,6 @@ $$\widehat{(\lambda \cdot\vec{v_{2}})}_{B} = \lambda \cdot \widehat{\vec{v_{2}}_
|
|||
3. Pomocí GJEM převedeme levou stranu matice do tvaru jednotkové matice.
|
||||
4. Na pravé straně máme souřadnice v zadané bázi.
|
||||
|
||||
### Lineární obal
|
||||
|
||||
- všechny lineární kombinace zadaných vektorů
|
||||
- $\langle\vec{u}; \vec{v}\rangle = \{ \lambda_{1} \cdot \vec{u} + \lambda_{2} \cdot \vec{v} \}$
|
||||
|
||||
### Operace s podprostory
|
||||
|
||||
- Sjednocení $u_{1} \cup u_{2}$
|
||||
|
|
Loading…
Reference in a new issue