Úprava 6. okruhu z NM
This commit is contained in:
parent
2ee73e2374
commit
7c0c3511ff
1 changed files with 18 additions and 17 deletions
|
@ -2,27 +2,30 @@
|
|||
|
||||
### Vlastní čísla
|
||||
|
||||
Je dána čtvercová matice $A$ řádu $n$. Vlastní vektor $v$ je nenulový vektor, pro který platí $Av = \lambda v$. Číslo $\lambda$ se nazívá vlastním číslem matice $A$.
|
||||
|
||||
- $Av = \lambda x$
|
||||
- $\lambda$ ... vlastní číslo
|
||||
- $x$ ... vlastní vektor
|
||||
- $x$ ... vlastní vektor (nenulový)
|
||||
- charakteristická rovnice ... $\det(A - \lambda I) = 0$
|
||||
- kořeny jsou vlastní čísla
|
||||
- spektrální matice ... $A = \text{diag}(\lambda_{1}, \lambda_{2}, \dots, \lambda_{n})$
|
||||
|
||||
Typy problémů
|
||||
- **úplný problém**: úlohou je najít všechna vl. čísla
|
||||
- **částečný problém**: úlohou je najít pouze některá vl. čísla (obvykle s největší absolutní hodnotou)
|
||||
- **úplný problém**: úlohou je najít všechna vlastní čísla
|
||||
- **částečný problém**: úlohou je najít pouze některá vlastní čísla (obvykle s největší absolutní hodnotou)
|
||||
|
||||
### Mocninná metoda
|
||||
|
||||
Řeší částečný problém - vlastní číslo matice $A$ s největší absolutní hodnotou.
|
||||
|
||||
**Předpoklady**
|
||||
- $A$ má $n$ LN vlastních vektorů
|
||||
- matice $A$ má $n$ LN vlastních vektorů
|
||||
- existuje právě jedno dominantní vlastní číslo
|
||||
- vl. čísla lze seřadit: $|\lambda_{1}| > |\lambda_{2}| \geq |\lambda_{3}| \geq \dots \geq |\lambda_{n}|$
|
||||
- vlastní čísla lze seřadit: $|\lambda_{1}| > |\lambda_{2}| \geq |\lambda_{3}| \geq \dots \geq |\lambda_{n}|$
|
||||
|
||||
**Algoritmus**
|
||||
- **vstup**: matice $A$ a sloupcový vektor $y^{(0)}$ (LK vlastních vektorů)
|
||||
- **vstup**: čtvercová matice $A$ a sloupcový vektor $y^{(0)}$ (např. samé jedničky)
|
||||
- **zastavovací podmínka**: $|\lambda^{(k+1)} - \lambda^{(k)}| < \epsilon$
|
||||
1. pomocí iterační formule $y^{(k+1)} = A\cdot y^{(k)}$ počítáme další $y^{(k+1)}$ pro $k = 0, 1, \dots$
|
||||
2. z vektoru $y^{(k+1)}$ vybereme index $i$, kde je absolutní hodnota $|y^{(k+1)}_{i}|$ největší
|
||||
|
@ -44,7 +47,8 @@ $\displaystyle\lambda_{k} = \frac{y^{(k-1)^T} \cdot y^{(k)}}{y^{(k-1)^T} \cdot y
|
|||
- stejné jako u mocninné metody
|
||||
- **navíc**: matice $A$ je **blízce symetrická** (hodnoty jsou téměř symetrické)
|
||||
- vlastní vektory jsou díky tomu ortonormální
|
||||
- $v_{i}^Tv_{j} = 0, i\neq j \quad v_{i}^Tv_{i} = 1$
|
||||
- $v_{i}^Tv_{j} = 0; \quad i\neq j$
|
||||
- $v_{i}^Tv_{i} = 1$
|
||||
|
||||
**Poznámky**
|
||||
- konverguje k nule zhruba dvakrát rychleji
|
||||
|
@ -52,12 +56,13 @@ $\displaystyle\lambda_{k} = \frac{y^{(k-1)^T} \cdot y^{(k)}}{y^{(k-1)^T} \cdot y
|
|||
### Ortogonální transformace
|
||||
|
||||
**Podobnost matic**
|
||||
- matice $A$ a $B$ jsou si podobné, pokud existuje $P$, pro které platí $P^{-1}AP = B$ nebo $A = PBP^{-1}$
|
||||
- matice $A$ a $B$ jsou si podobné, pokud existuje matice $P$, pro kterou platí $P^{-1}AP = B$ nebo $A = PBP^{-1}$
|
||||
- podobné matice mají **stejná vlastní čísla**
|
||||
|
||||
**Princip**
|
||||
- využijeme podobnosti matic
|
||||
- konstruujeme posloupnost vzájemně podobných matic, která konverguje k matici, jejíž vlastní čísla se dají snadno určit
|
||||
- posloupnost vzájemně podobných matic: $A_{k+1} = Q_{k}^TA_{k}Q_{k}, k = 0,1,2,\dots$
|
||||
- posloupnost vzájemně podobných matic: $A_{k+1} = Q_{k}^TA_{k}Q_{k}, \quad k = 0,1,2,\dots$
|
||||
|
||||
**Metoda QU-rozkladu**
|
||||
- používáme pro obecnou matici
|
||||
|
@ -65,7 +70,6 @@ $\displaystyle\lambda_{k} = \frac{y^{(k-1)^T} \cdot y^{(k)}}{y^{(k-1)^T} \cdot y
|
|||
- $Q$ ... ortogonální matice - $QQ^T = I$, tedy $Q^T = Q^{-1}$
|
||||
- $U$ ... horní trojúhelníková matice
|
||||
- $B = UQ$
|
||||
- $U = Q^{-1}A \implies B = Q^{-1}AQ = Q^{T}AQ$
|
||||
|
||||
Příkladem ortogonální matice je matice rovinné rotace o úhel $\alpha$.
|
||||
- pro dostatečně velké $k$ je $A^k$ horní trojúhelníková matice
|
||||
|
@ -78,11 +82,8 @@ $$
|
|||
$$
|
||||
|
||||
**Metoda Jacobiovy diagonalizace**
|
||||
- používáme, když $A$ ... reálná symetrická matice
|
||||
- $\implies \exists$ ortogonální matice $Q$ taková, že $Q^TAQ = A$
|
||||
- používáme, když $A$ je reálná symetrická matice
|
||||
- poté existuje ortogonální matice $Q$ taková, že platí $Q^TAQ = A$
|
||||
- $A$ ... spektrální matice = matice s vlastními čísly na diagonále
|
||||
- **postupné nulování**
|
||||
- vybereme prvek mimo diagonálu a ten vynulujeme
|
||||
- poté vybereme další, ale zase se nám odnuluje ten původní
|
||||
- při iteračním pojetí ale budou všechny prvky mimo diagonálu konvergovat k nulám
|
||||
- **postupné nulování** prvků mimo diagonálu (iteračně konvergují k nulám)
|
||||
|
||||
|
|
Loading…
Reference in a new issue