Znachor/FAV-ZCU
2
3
Fork 0
Code Issues Pull requests Releases Activity

Úprava 6. okruhu z NM

Browse source
This commit is contained in:
Filip Znachor 2024-06-19 21:00:52 +02:00
parent 2ee73e2374
commit 7c0c3511ff
1 changed files with 18 additions and 17 deletions
Show stats Download patch file Download diff file Expand all files Collapse all files

35
KMA NM/Zkouška/06. okruh.md
View file

@ -2,27 +2,30 @@
### Vlastní čísla ### Vlastní čísla
Je dána čtvercová matice $A$ řádu $n$. Vlastní vektor $v$ je nenulový vektor, pro který platí $Av = \lambda v$. Číslo $\lambda$ se nazívá vlastním číslem matice $A$.
- $Av = \lambda x$ - $Av = \lambda x$
- $\lambda$ ... vlastní číslo - $\lambda$ ... vlastní číslo
- $x$ ... vlastní vektor - $x$ ... vlastní vektor (nenulový)
- charakteristická rovnice ... $\det(A - \lambda I) = 0$ - charakteristická rovnice ... $\det(A - \lambda I) = 0$
- kořeny jsou vlastní čísla
- spektrální matice ... $A = \text{diag}(\lambda_{1}, \lambda_{2}, \dots, \lambda_{n})$ - spektrální matice ... $A = \text{diag}(\lambda_{1}, \lambda_{2}, \dots, \lambda_{n})$
Typy problémů Typy problémů
- **úplný problém**: úlohou je najít všechna vl. čísla - **úplný problém**: úlohou je najít všechna vlastní čísla
- **částečný problém**: úlohou je najít pouze některá vl. čísla (obvykle s největší absolutní hodnotou) - **částečný problém**: úlohou je najít pouze některá vlastní čísla (obvykle s největší absolutní hodnotou)
### Mocninná metoda ### Mocninná metoda
Řeší částečný problém - vlastní číslo matice $A$ s největší absolutní hodnotou. Řeší částečný problém - vlastní číslo matice $A$ s největší absolutní hodnotou.
**Předpoklady** **Předpoklady**
- $A$ má $n$ LN vlastních vektorů - matice $A$ má $n$ LN vlastních vektorů
- existuje právě jedno dominantní vlastní číslo - existuje právě jedno dominantní vlastní číslo
- vl. čísla lze seřadit: $|\lambda_{1}| > |\lambda_{2}| \geq |\lambda_{3}| \geq \dots \geq |\lambda_{n}|$ - vlastní čísla lze seřadit: $|\lambda_{1}| > |\lambda_{2}| \geq |\lambda_{3}| \geq \dots \geq |\lambda_{n}|$
**Algoritmus** **Algoritmus**
- **vstup**: matice $A$ a sloupcový vektor $y^{(0)}$ (LK vlastních vektorů) - **vstup**: čtvercová matice $A$ a sloupcový vektor $y^{(0)}$ (např. samé jedničky)
- **zastavovací podmínka**: $|\lambda^{(k+1)} - \lambda^{(k)}| < \epsilon$ - **zastavovací podmínka**: $|\lambda^{(k+1)} - \lambda^{(k)}| < \epsilon$
1. pomocí iterační formule $y^{(k+1)} = A\cdot y^{(k)}$ počítáme další $y^{(k+1)}$ pro $k = 0, 1, \dots$ 1. pomocí iterační formule $y^{(k+1)} = A\cdot y^{(k)}$ počítáme další $y^{(k+1)}$ pro $k = 0, 1, \dots$
2. z vektoru $y^{(k+1)}$ vybereme index $i$, kde je absolutní hodnota $|y^{(k+1)}_{i}|$ největší 2. z vektoru $y^{(k+1)}$ vybereme index $i$, kde je absolutní hodnota $|y^{(k+1)}_{i}|$ největší
@ -44,7 +47,8 @@ $\displaystyle\lambda_{k} = \frac{y^{(k-1)^T} \cdot y^{(k)}}{y^{(k-1)^T} \cdot y
- stejné jako u mocninné metody - stejné jako u mocninné metody
- **navíc**: matice $A$ je **blízce symetrická** (hodnoty jsou téměř symetrické) - **navíc**: matice $A$ je **blízce symetrická** (hodnoty jsou téměř symetrické)
- vlastní vektory jsou díky tomu ortonormální - vlastní vektory jsou díky tomu ortonormální
- $v_{i}^Tv_{j} = 0, i\neq j \quad v_{i}^Tv_{i} = 1$ - $v_{i}^Tv_{j} = 0; \quad i\neq j$
- $v_{i}^Tv_{i} = 1$
**Poznámky** **Poznámky**
- konverguje k nule zhruba dvakrát rychleji - konverguje k nule zhruba dvakrát rychleji
@ -52,12 +56,13 @@ $\displaystyle\lambda_{k} = \frac{y^{(k-1)^T} \cdot y^{(k)}}{y^{(k-1)^T} \cdot y
### Ortogonální transformace ### Ortogonální transformace
**Podobnost matic** **Podobnost matic**
- matice $A$ a $B$ jsou si podobné, pokud existuje $P$, pro které platí $P^{-1}AP = B$ nebo $A = PBP^{-1}$ - matice $A$ a $B$ jsou si podobné, pokud existuje matice $P$, pro kterou platí $P^{-1}AP = B$ nebo $A = PBP^{-1}$
- podobné matice mají **stejná vlastní čísla** - podobné matice mají **stejná vlastní čísla**
**Princip** **Princip**
- využijeme podobnosti matic
- konstruujeme posloupnost vzájemně podobných matic, která konverguje k matici, jejíž vlastní čísla se dají snadno určit - konstruujeme posloupnost vzájemně podobných matic, která konverguje k matici, jejíž vlastní čísla se dají snadno určit
- posloupnost vzájemně podobných matic: $A_{k+1} = Q_{k}^TA_{k}Q_{k}, k = 0,1,2,\dots$ - posloupnost vzájemně podobných matic: $A_{k+1} = Q_{k}^TA_{k}Q_{k}, \quad k = 0,1,2,\dots$
**Metoda QU-rozkladu** **Metoda QU-rozkladu**
- používáme pro obecnou matici - používáme pro obecnou matici
@ -65,7 +70,6 @@ $\displaystyle\lambda_{k} = \frac{y^{(k-1)^T} \cdot y^{(k)}}{y^{(k-1)^T} \cdot y
- $Q$ ... ortogonální matice - $QQ^T = I$, tedy $Q^T = Q^{-1}$ - $Q$ ... ortogonální matice - $QQ^T = I$, tedy $Q^T = Q^{-1}$
- $U$ ... horní trojúhelníková matice - $U$ ... horní trojúhelníková matice
- $B = UQ$ - $B = UQ$
- $U = Q^{-1}A \implies B = Q^{-1}AQ = Q^{T}AQ$
Příkladem ortogonální matice je matice rovinné rotace o úhel $\alpha$. Příkladem ortogonální matice je matice rovinné rotace o úhel $\alpha$.
- pro dostatečně velké $k$ je $A^k$ horní trojúhelníková matice - pro dostatečně velké $k$ je $A^k$ horní trojúhelníková matice
@ -78,11 +82,8 @@ $$
$$ $$
**Metoda Jacobiovy diagonalizace** **Metoda Jacobiovy diagonalizace**
- používáme, když $A$ ... reálná symetrická matice - používáme, když $A$ je reálná symetrická matice
- $\implies \exists$ ortogonální matice $Q$ taková, že $Q^TAQ = A$ - poté existuje ortogonální matice $Q$ taková, že platí $Q^TAQ = A$
- $A$ ... spektrální matice = matice s vlastními čísly na diagonále - $A$ ... spektrální matice = matice s vlastními čísly na diagonále
- **postupné nulování** - **postupné nulování** prvků mimo diagonálu (iteračně konvergují k nulám)
- vybereme prvek mimo diagonálu a ten vynulujeme
- poté vybereme další, ale zase se nám odnuluje ten původní
- při iteračním pojetí ale budou všechny prvky mimo diagonálu konvergovat k nulám