Úprava 6. okruhu z NM

KMA NM/Zkouška/06. okruh.md

@@ -2,27 +2,30 @@
 
 ### Vlastní čísla
 
+Je dána čtvercová matice $A$ řádu $n$. Vlastní vektor $v$ je nenulový vektor, pro který platí $Av = \lambda v$. Číslo $\lambda$ se nazívá vlastním číslem matice $A$.
+
 - $Av = \lambda x$
 	- $\lambda$ ... vlastní číslo
-	- $x$ ... vlastní vektor
+	- $x$ ... vlastní vektor (nenulový)
 - charakteristická rovnice ... $\det(A - \lambda I) = 0$
+	- kořeny jsou vlastní čísla
 - spektrální matice ... $A = \text{diag}(\lambda_{1}, \lambda_{2}, \dots, \lambda_{n})$
 
 Typy problémů
-- **úplný problém**: úlohou je najít všechna vl. čísla
-- **částečný problém**: úlohou je najít pouze některá vl. čísla (obvykle s největší absolutní hodnotou)
+- **úplný problém**: úlohou je najít všechna vlastní čísla
+- **částečný problém**: úlohou je najít pouze některá vlastní čísla (obvykle s největší absolutní hodnotou)
 
 ### Mocninná metoda
 
 Řeší částečný problém - vlastní číslo matice $A$ s největší absolutní hodnotou.
 
 **Předpoklady**
-- $A$ má $n$ LN vlastních vektorů
+- matice $A$ má $n$ LN vlastních vektorů
 - existuje právě jedno dominantní vlastní číslo
-- vl. čísla lze seřadit: $|\lambda_{1}| > |\lambda_{2}| \geq |\lambda_{3}| \geq \dots \geq |\lambda_{n}|$
+- vlastní čísla lze seřadit: $|\lambda_{1}| > |\lambda_{2}| \geq |\lambda_{3}| \geq \dots \geq |\lambda_{n}|$
 
 **Algoritmus**
-- **vstup**: matice $A$ a sloupcový vektor $y^{(0)}$ (LK vlastních vektorů)
+- **vstup**: čtvercová matice $A$ a sloupcový vektor $y^{(0)}$ (např. samé jedničky)
 - **zastavovací podmínka**: $|\lambda^{(k+1)} - \lambda^{(k)}| < \epsilon$
 1. pomocí iterační formule $y^{(k+1)} = A\cdot y^{(k)}$ počítáme další $y^{(k+1)}$ pro $k = 0, 1, \dots$
 2. z vektoru $y^{(k+1)}$ vybereme index $i$, kde je absolutní hodnota $|y^{(k+1)}_{i}|$ největší
@@ -44,7 +47,8 @@ $\displaystyle\lambda_{k} = \frac{y^{(k-1)^T} \cdot y^{(k)}}{y^{(k-1)^T} \cdot y
 - stejné jako u mocninné metody
 - **navíc**: matice $A$ je **blízce symetrická** (hodnoty jsou téměř symetrické)
 	- vlastní vektory jsou díky tomu ortonormální
-	- $v_{i}^Tv_{j} = 0, i\neq j \quad v_{i}^Tv_{i} = 1$
+	- $v_{i}^Tv_{j} = 0; \quad i\neq j$
+	- $v_{i}^Tv_{i} = 1$
 
 **Poznámky**
 - konverguje k nule zhruba dvakrát rychleji
@@ -52,12 +56,13 @@ $\displaystyle\lambda_{k} = \frac{y^{(k-1)^T} \cdot y^{(k)}}{y^{(k-1)^T} \cdot y
 ### Ortogonální transformace
 
 **Podobnost matic**
-- matice $A$ a $B$ jsou si podobné, pokud existuje $P$, pro které platí $P^{-1}AP = B$ nebo $A = PBP^{-1}$
+- matice $A$ a $B$ jsou si podobné, pokud existuje matice $P$, pro kterou platí $P^{-1}AP = B$ nebo $A = PBP^{-1}$
 - podobné matice mají **stejná vlastní čísla**
 
 **Princip**
+- využijeme podobnosti matic
 - konstruujeme posloupnost vzájemně podobných matic, která konverguje k matici, jejíž vlastní čísla se dají snadno určit
-- posloupnost vzájemně podobných matic: $A_{k+1} = Q_{k}^TA_{k}Q_{k}, k = 0,1,2,\dots$
+- posloupnost vzájemně podobných matic: $A_{k+1} = Q_{k}^TA_{k}Q_{k}, \quad k = 0,1,2,\dots$
 
 **Metoda QU-rozkladu**
 - používáme pro obecnou matici
@@ -65,7 +70,6 @@ $\displaystyle\lambda_{k} = \frac{y^{(k-1)^T} \cdot y^{(k)}}{y^{(k-1)^T} \cdot y
 	- $Q$ ... ortogonální matice - $QQ^T = I$, tedy $Q^T = Q^{-1}$
 	- $U$ ... horní trojúhelníková matice
 - $B = UQ$
-	- $U = Q^{-1}A \implies B = Q^{-1}AQ = Q^{T}AQ$
 
 Příkladem ortogonální matice je matice rovinné rotace o úhel $\alpha$.
 - pro dostatečně velké $k$ je $A^k$ horní trojúhelníková matice
@@ -78,11 +82,8 @@ $$
 $$
 
 **Metoda Jacobiovy diagonalizace**
-- používáme, když $A$ ... reálná symetrická matice
-- $\implies \exists$ ortogonální matice $Q$ taková, že $Q^TAQ = A$
-- $A$ ... spektrální matice = matice s vlastními čísly na diagonále
-- **postupné nulování**
-	- vybereme prvek mimo diagonálu a ten vynulujeme
-	- poté vybereme další, ale zase se nám odnuluje ten původní
-	- při iteračním pojetí ale budou všechny prvky mimo diagonálu konvergovat k nulám
+- používáme, když $A$ je reálná symetrická matice
+- poté existuje ortogonální matice $Q$ taková, že platí $Q^TAQ = A$
+	- $A$ ... spektrální matice = matice s vlastními čísly na diagonále
+- **postupné nulování** prvků mimo diagonálu (iteračně konvergují k nulám)