Úpravy 3. okruhu z NM
This commit is contained in:
parent
fde3d15a12
commit
5d1e1bc5b1
1 changed files with 47 additions and 36 deletions
|
@ -2,13 +2,13 @@
|
|||
|
||||
### Soustava lineárních algebraických rovnic
|
||||
|
||||
Metody
|
||||
- přímé
|
||||
- iterační
|
||||
Přímé metody
|
||||
- metody, kde výpočet probíhá bez zaokrouhlovacích chyb, tedy zcela přesně
|
||||
|
||||
Formulace
|
||||
- Dána matice $A$ a vektor pravé strany $b$. Hledáme vektor $x$, aby platilo $Ax = b$.
|
||||
- Předpokládáme, že $A$ je **regulární** (tj. soustava má jedno řešení).
|
||||
- máme čtvercovou matici $A$ a vektor pravé strany $b$
|
||||
- hledáme vektor $x$ takový, aby platilo $Ax = b$
|
||||
- předpokládáme, že $A$ je **regulární** (tj. soustava má jedno řešení)
|
||||
|
||||
2 typy soustav
|
||||
- soustavy s obecnou maticí
|
||||
|
@ -17,37 +17,27 @@ Formulace
|
|||
- iterační nebo modifikovace přímých metod
|
||||
|
||||
Cramerovo pravidlo
|
||||
- metoda
|
||||
- $x_{i} = \frac{\det(A_{i})}{\det (A)}$
|
||||
- vypočítáme determinant matice $A$ a determinant matice $A_{i}$, kde $i$-tý sloupec nahradíme vektorem $b$
|
||||
- $\displaystyle x_{i} = \frac{\det(A_{i})}{\det (A)}$
|
||||
- nutno vypočítat $(n+1)$ determinantů
|
||||
|
||||
Princip
|
||||
- Soustavy $Ax = b$ a $TAx = Tb$, kde $T$ je regulární matice, jsou ekvivalentní.
|
||||
- Touto transformací lze získat trojúhelníkovou soustavu ... $Ux = y, U = TA, y = Tb$ ... tu lze řešit zpětným chodem
|
||||
|
||||
### Gausova eliminační metoda
|
||||
|
||||
Přímý chod
|
||||
- převedení matice na trojúhelníkový tvar sčítání řádku s násobkem jiného
|
||||
- cílem vynulování sloupce pod diagonálou
|
||||
- převedení matice na trojúhelníkový tvar sčítáním řádku s násobkem jiného
|
||||
- cílem je vynulování části sloupce pod diagonálou
|
||||
- trojúhelníkovou soustavu řešíme zpětným chodem
|
||||
|
||||
Efektivnost algoritmu GEM
|
||||
- výpočet multiplikátoru + přímý chod + zpětný chod
|
||||
- $\frac{1}{3}N^3 + N^2 - \frac{1}{3}N$, kde $N$ je řád matice $A$
|
||||
- časová složitost $O(n^3)$
|
||||
|
||||
Realizovatelnost GEM
|
||||
- může se stát, že algoritmus bude v nějakých případech nucen při řádkových úpravách dělit nulou
|
||||
- může se stát, že algoritmus bude nucen při řádkových úpravách dělit nulou
|
||||
- pro tyto případy normální GEM není realizovatelná a musíme použít GEM s pivotací
|
||||
- je-li matice $A$ **ostře diagonálně dominatní**, pak je algoritmus **GEM realizovatelný**
|
||||
- absolutní hodnota čísla na diagonále je ostře větší než součet abs. hodnot a ostatnách čísel v tomto řádku
|
||||
- je-li matice $A$ **symetrická a pozitivně definitní**, pak je algoritmus **GEM realizovatelný**
|
||||
- má všechna vlastní čísla kladná
|
||||
|
||||
**Existence řešení**
|
||||
- soustava $Ax = b$ má právě 1 řešení, když je $A$ regulární
|
||||
- lineárně nezávislé řádky a sloupce
|
||||
- $\det A \neq 0, \quad \forall \lambda \neq 0$
|
||||
+ je-li matice $A$ **ostře diagonálně dominatní**, pak je algoritmus **GEM realizovatelný**
|
||||
- absolutní hodnota čísla na diagonále je ostře větší než součet absolutních hodnot a ostatních čísel v tomto řádku
|
||||
+ je-li matice $A$ **symetrická a pozitivně definitní**, pak je algoritmus **GEM realizovatelný**
|
||||
- **pozitivně definitní** - má všechna vlastní čísla kladná
|
||||
|
||||
**GEM se sloupcovou pivotací**
|
||||
- vždy vezmeme sloupec a najdeme v něm **největší absolutní hodnotu** a **prohodíme řádky** tak, aby **to číslo bylo na diagonále** (tím zajistíme, že nebudeme dělit nulou)
|
||||
|
@ -57,8 +47,16 @@ Realizovatelnost GEM
|
|||
- princip stejný, akorát je třeba zaměnit i příslušné složky řešení $x$ (prohození sloupců prohází složky řešení)
|
||||
- GEM s pivotací je **realizovatelná pro libovolnou regulární matici** $A$
|
||||
|
||||
**Existence řešení**
|
||||
- soustava $Ax = b$ má právě 1 řešení, když je $A$ regulární
|
||||
- lineárně nezávislé řádky a sloupce
|
||||
- $\det A \neq 0, \quad \forall \lambda \neq 0$
|
||||
|
||||
### Metoda LU-rozkladu
|
||||
|
||||
Spočívá v rozkladu matice $A$ na horní $U$ a dolní $L$ trojúhelníkovou matici.
|
||||
- stejná přesnost i pracnost jako GEM
|
||||
|
||||
**LU-rozklad**
|
||||
- $A$ ... regulární matice řádu N
|
||||
- lze rozložit na $A = LU$
|
||||
|
@ -67,9 +65,8 @@ Realizovatelnost GEM
|
|||
|
||||
LU-rozklad **existuje**, pokud lze provést pivotaci tak, aby se eliminovaly nuly na diagonále.
|
||||
|
||||
Jednoznačnost LU-rozkladu
|
||||
**Jednoznačnost LU-rozkladu**
|
||||
- LU-rozklad **není jednoznačný**. Jednoznačnosti je možné dosáhnout tak, že si zvolíme diagonálu jedné z matic (např. do L dáme na diagonálu jedničky).
|
||||
- Pokud je $A$ **regulární** a **všechny pivoty jsou nenulové**, tak existuje jednoznačný LU rozklad (jinak je potřeba provést pivotaci).
|
||||
|
||||
**Řešení soustavy LU-metodou**
|
||||
1. zadáno $A, b$, provedeme LU-rozklad: $A = LU$
|
||||
|
@ -85,32 +82,46 @@ Jednoznačnost LU-rozkladu
|
|||
|
||||
**Choleského rozklad**
|
||||
- speciální případ LU-rozkladu pro **pozitivně definitní matice**
|
||||
- $A = L\cdot L^T$
|
||||
- pozitivně definitní matice má vždy Chol. rozklad
|
||||
- matici $A$ rozložíme na součin dolní trojúhelníkové matice a její transpozice
|
||||
- $A = L\cdot L^T$
|
||||
- **symetrická a pozitivně definitní matice** má vždy Chol. rozklad
|
||||
- díky symetrii snížíme počet aritmetických operací na polovinu
|
||||
- rozklad je jednoznačný, pokud jsou diagonální prvky $L$ kladné
|
||||
|
||||
Stabilita LU-rozkladu
|
||||
- obecně stabilní, pokud se provádí s pivotací (permutací řádků)
|
||||
- **obecně stabilní**, pokud se provádí **s pivotací** (permutací řádků)
|
||||
- bez pivotace může být nestabilní, pokud má matice $A$ velmi malé nebo velké prvky
|
||||
- Chol. rozklad je numericky stabilní pro pozitivně definitní matice
|
||||
|
||||
### Srovnání metod
|
||||
|
||||
**GEM**
|
||||
- efektivní pro řešení soustav, na PC pro tisíce rovnic
|
||||
- při **změně pravé strany** se musí celý výpočet **opakovat**
|
||||
|
||||
**LU**
|
||||
- efektivní pro **více pravých stran**
|
||||
|
||||
**Choleského**
|
||||
- méně náročná pro **symetrické a pozitivně definitní matice**
|
||||
|
||||
### Přímé metody pro soustavy se speciální maticí
|
||||
|
||||
Symetrická matice
|
||||
- používáme symetrickou verzi GEM a LU-rozkladu
|
||||
**Symetrická matice**
|
||||
- používáme **symetrickou verzi GEM a LU-rozkladu**
|
||||
- $A = LDL^T$ - $D$ je diagonální matice
|
||||
- rozklad zachovává symetrii původní matice
|
||||
- efektivnější, rychlejší a stabilnější než obecná LU-metoda
|
||||
- symetrická + pozitivně definitní
|
||||
- **symetrická + pozitivně definitní**
|
||||
- Choleského rozklad
|
||||
|
||||
Pásová matice
|
||||
**Pásová matice**
|
||||
- řídká matice s **nenulovými prvky kolem diagonály**
|
||||
- **zachovávají se pozice nul** (to v obecném případě neplatí)
|
||||
- pásová + symetrická + pozitivně definitní
|
||||
- **pásová + symetrická + pozitivně definitní**
|
||||
- Choleského rozklad
|
||||
|
||||
3-diagonální matice
|
||||
**3-diagonální matice**
|
||||
- pásová matice, kde jsou nenulové prvky na 3 diagonálách
|
||||
- metoda faktorizace
|
||||
- $A \cdot Y = F$ ... soustava $n+1$ lineárních algebraických rovnic
|
||||
|
|
Loading…
Reference in a new issue