diff --git a/KMA NM/Zkouška/03. okruh.md b/KMA NM/Zkouška/03. okruh.md index 4901a93..f88a3e6 100644 --- a/KMA NM/Zkouška/03. okruh.md +++ b/KMA NM/Zkouška/03. okruh.md @@ -2,13 +2,13 @@ ### Soustava lineárních algebraických rovnic -Metody -- přímé -- iterační +Přímé metody +- metody, kde výpočet probíhá bez zaokrouhlovacích chyb, tedy zcela přesně Formulace -- Dána matice $A$ a vektor pravé strany $b$. Hledáme vektor $x$, aby platilo $Ax = b$. -- Předpokládáme, že $A$ je **regulární** (tj. soustava má jedno řešení). +- máme čtvercovou matici $A$ a vektor pravé strany $b$ +- hledáme vektor $x$ takový, aby platilo $Ax = b$ +- předpokládáme, že $A$ je **regulární** (tj. soustava má jedno řešení) 2 typy soustav - soustavy s obecnou maticí @@ -17,37 +17,27 @@ Formulace - iterační nebo modifikovace přímých metod Cramerovo pravidlo -- metoda -- $x_{i} = \frac{\det(A_{i})}{\det (A)}$ +- vypočítáme determinant matice $A$ a determinant matice $A_{i}$, kde $i$-tý sloupec nahradíme vektorem $b$ +- $\displaystyle x_{i} = \frac{\det(A_{i})}{\det (A)}$ - nutno vypočítat $(n+1)$ determinantů -Princip -- Soustavy $Ax = b$ a $TAx = Tb$, kde $T$ je regulární matice, jsou ekvivalentní. -- Touto transformací lze získat trojúhelníkovou soustavu ... $Ux = y, U = TA, y = Tb$ ... tu lze řešit zpětným chodem - ### Gausova eliminační metoda -Přímý chod -- převedení matice na trojúhelníkový tvar sčítání řádku s násobkem jiného - - cílem vynulování sloupce pod diagonálou +- převedení matice na trojúhelníkový tvar sčítáním řádku s násobkem jiného + - cílem je vynulování části sloupce pod diagonálou - trojúhelníkovou soustavu řešíme zpětným chodem Efektivnost algoritmu GEM - výpočet multiplikátoru + přímý chod + zpětný chod -- $\frac{1}{3}N^3 + N^2 - \frac{1}{3}N$, kde $N$ je řád matice $A$ +- časová složitost $O(n^3)$ Realizovatelnost GEM -- může se stát, že algoritmus bude v nějakých případech nucen při řádkových úpravách dělit nulou +- může se stát, že algoritmus bude nucen při řádkových úpravách dělit nulou - pro tyto případy normální GEM není realizovatelná a musíme použít GEM s pivotací - - je-li matice $A$ **ostře diagonálně dominatní**, pak je algoritmus **GEM realizovatelný** - - absolutní hodnota čísla na diagonále je ostře větší než součet abs. hodnot a ostatnách čísel v tomto řádku - - je-li matice $A$ **symetrická a pozitivně definitní**, pak je algoritmus **GEM realizovatelný** - - má všechna vlastní čísla kladná - -**Existence řešení** -- soustava $Ax = b$ má právě 1 řešení, když je $A$ regulární - - lineárně nezávislé řádky a sloupce - - $\det A \neq 0, \quad \forall \lambda \neq 0$ ++ je-li matice $A$ **ostře diagonálně dominatní**, pak je algoritmus **GEM realizovatelný** + - absolutní hodnota čísla na diagonále je ostře větší než součet absolutních hodnot a ostatních čísel v tomto řádku ++ je-li matice $A$ **symetrická a pozitivně definitní**, pak je algoritmus **GEM realizovatelný** + - **pozitivně definitní** - má všechna vlastní čísla kladná **GEM se sloupcovou pivotací** - vždy vezmeme sloupec a najdeme v něm **největší absolutní hodnotu** a **prohodíme řádky** tak, aby **to číslo bylo na diagonále** (tím zajistíme, že nebudeme dělit nulou) @@ -57,8 +47,16 @@ Realizovatelnost GEM - princip stejný, akorát je třeba zaměnit i příslušné složky řešení $x$ (prohození sloupců prohází složky řešení) - GEM s pivotací je **realizovatelná pro libovolnou regulární matici** $A$ +**Existence řešení** +- soustava $Ax = b$ má právě 1 řešení, když je $A$ regulární + - lineárně nezávislé řádky a sloupce + - $\det A \neq 0, \quad \forall \lambda \neq 0$ + ### Metoda LU-rozkladu +Spočívá v rozkladu matice $A$ na horní $U$ a dolní $L$ trojúhelníkovou matici. +- stejná přesnost i pracnost jako GEM + **LU-rozklad** - $A$ ... regulární matice řádu N - lze rozložit na $A = LU$ @@ -67,9 +65,8 @@ Realizovatelnost GEM LU-rozklad **existuje**, pokud lze provést pivotaci tak, aby se eliminovaly nuly na diagonále. -Jednoznačnost LU-rozkladu +**Jednoznačnost LU-rozkladu** - LU-rozklad **není jednoznačný**. Jednoznačnosti je možné dosáhnout tak, že si zvolíme diagonálu jedné z matic (např. do L dáme na diagonálu jedničky). -- Pokud je $A$ **regulární** a **všechny pivoty jsou nenulové**, tak existuje jednoznačný LU rozklad (jinak je potřeba provést pivotaci). **Řešení soustavy LU-metodou** 1. zadáno $A, b$, provedeme LU-rozklad: $A = LU$ @@ -85,32 +82,46 @@ Jednoznačnost LU-rozkladu **Choleského rozklad** - speciální případ LU-rozkladu pro **pozitivně definitní matice** -- $A = L\cdot L^T$ -- pozitivně definitní matice má vždy Chol. rozklad +- matici $A$ rozložíme na součin dolní trojúhelníkové matice a její transpozice + - $A = L\cdot L^T$ +- **symetrická a pozitivně definitní matice** má vždy Chol. rozklad + - díky symetrii snížíme počet aritmetických operací na polovinu - rozklad je jednoznačný, pokud jsou diagonální prvky $L$ kladné Stabilita LU-rozkladu -- obecně stabilní, pokud se provádí s pivotací (permutací řádků) +- **obecně stabilní**, pokud se provádí **s pivotací** (permutací řádků) - bez pivotace může být nestabilní, pokud má matice $A$ velmi malé nebo velké prvky - Chol. rozklad je numericky stabilní pro pozitivně definitní matice +### Srovnání metod + +**GEM** +- efektivní pro řešení soustav, na PC pro tisíce rovnic +- při **změně pravé strany** se musí celý výpočet **opakovat** + +**LU** +- efektivní pro **více pravých stran** + +**Choleského** +- méně náročná pro **symetrické a pozitivně definitní matice** + ### Přímé metody pro soustavy se speciální maticí -Symetrická matice -- používáme symetrickou verzi GEM a LU-rozkladu +**Symetrická matice** +- používáme **symetrickou verzi GEM a LU-rozkladu** - $A = LDL^T$ - $D$ je diagonální matice - rozklad zachovává symetrii původní matice - efektivnější, rychlejší a stabilnější než obecná LU-metoda -- symetrická + pozitivně definitní +- **symetrická + pozitivně definitní** - Choleského rozklad -Pásová matice +**Pásová matice** - řídká matice s **nenulovými prvky kolem diagonály** - **zachovávají se pozice nul** (to v obecném případě neplatí) -- pásová + symetrická + pozitivně definitní +- **pásová + symetrická + pozitivně definitní** - Choleského rozklad -3-diagonální matice +**3-diagonální matice** - pásová matice, kde jsou nenulové prvky na 3 diagonálách - metoda faktorizace - $A \cdot Y = F$ ... soustava $n+1$ lineárních algebraických rovnic