Úpravy 3. okruhu z NM

KMA NM/Zkouška/03. okruh.md

@@ -2,13 +2,13 @@
 
 ### Soustava lineárních algebraických rovnic
 
-Metody
-- přímé
-- iterační
+Přímé metody
+- metody, kde výpočet probíhá bez zaokrouhlovacích chyb, tedy zcela přesně
 
 Formulace
-- Dána matice $A$ a vektor pravé strany $b$. Hledáme vektor $x$, aby platilo $Ax = b$.
-- Předpokládáme, že $A$ je **regulární** (tj. soustava má jedno řešení).
+- máme čtvercovou matici $A$ a vektor pravé strany $b$
+- hledáme vektor $x$ takový, aby platilo $Ax = b$
+- předpokládáme, že $A$ je **regulární** (tj. soustava má jedno řešení)
 
 2 typy soustav
 - soustavy s obecnou maticí
@@ -17,37 +17,27 @@ Formulace
 	- iterační nebo modifikovace přímých metod
 
 Cramerovo pravidlo
-- metoda
-- $x_{i} = \frac{\det(A_{i})}{\det (A)}$
+- vypočítáme determinant matice $A$ a determinant matice $A_{i}$, kde $i$-tý sloupec nahradíme vektorem $b$
+- $\displaystyle x_{i} = \frac{\det(A_{i})}{\det (A)}$
 - nutno vypočítat $(n+1)$ determinantů
 
-Princip
-- Soustavy $Ax = b$ a $TAx = Tb$, kde $T$ je regulární matice, jsou ekvivalentní.
-- Touto transformací lze získat trojúhelníkovou soustavu ... $Ux = y, U = TA, y = Tb$ ... tu lze řešit zpětným chodem
-
 ### Gausova eliminační metoda
 
-Přímý chod
-- převedení matice na trojúhelníkový tvar sčítání řádku s násobkem jiného
-	- cílem vynulování sloupce pod diagonálou
+- převedení matice na trojúhelníkový tvar sčítáním řádku s násobkem jiného
+	- cílem je vynulování části sloupce pod diagonálou
 - trojúhelníkovou soustavu řešíme zpětným chodem
 
 Efektivnost algoritmu GEM
 - výpočet multiplikátoru + přímý chod + zpětný chod
-- $\frac{1}{3}N^3 + N^2 - \frac{1}{3}N$, kde $N$ je řád matice $A$
+- časová složitost $O(n^3)$
 
 Realizovatelnost GEM
-- může se stát, že algoritmus bude v nějakých případech nucen při řádkových úpravách dělit nulou
+- může se stát, že algoritmus bude nucen při řádkových úpravách dělit nulou
 - pro tyto případy normální GEM není realizovatelná a musíme použít GEM s pivotací
-	- je-li matice $A$ **ostře diagonálně dominatní**, pak je algoritmus **GEM realizovatelný**
-		- absolutní hodnota čísla na diagonále je ostře větší než součet abs. hodnot a ostatnách čísel v tomto řádku
-	- je-li matice $A$ **symetrická a pozitivně definitní**, pak je algoritmus **GEM realizovatelný**
-		- má všechna vlastní čísla kladná
-
-**Existence řešení**
-- soustava $Ax = b$ má právě 1 řešení, když je $A$ regulární
-	- lineárně nezávislé řádky a sloupce
-	- $\det A \neq 0, \quad \forall \lambda \neq 0$
++ je-li matice $A$ **ostře diagonálně dominatní**, pak je algoritmus **GEM realizovatelný**
+	- absolutní hodnota čísla na diagonále je ostře větší než součet absolutních hodnot a ostatních čísel v tomto řádku
++ je-li matice $A$ **symetrická a pozitivně definitní**, pak je algoritmus **GEM realizovatelný**
+	- **pozitivně definitní** - má všechna vlastní čísla kladná
 
 **GEM se sloupcovou pivotací**
 - vždy vezmeme sloupec a najdeme v něm **největší absolutní hodnotu** a **prohodíme řádky** tak, aby **to číslo bylo na diagonále** (tím zajistíme, že nebudeme dělit nulou)
@@ -57,8 +47,16 @@ Realizovatelnost GEM
 	- princip stejný, akorát je třeba zaměnit i příslušné složky řešení $x$ (prohození sloupců prohází složky řešení)
 - GEM s pivotací je **realizovatelná pro libovolnou regulární matici** $A$
 
+**Existence řešení**
+- soustava $Ax = b$ má právě 1 řešení, když je $A$ regulární
+	- lineárně nezávislé řádky a sloupce
+	- $\det A \neq 0, \quad \forall \lambda \neq 0$
+
 ### Metoda LU-rozkladu
 
+Spočívá v rozkladu matice $A$ na horní $U$ a dolní $L$ trojúhelníkovou matici.
+- stejná přesnost i pracnost jako GEM
+
 **LU-rozklad**
 - $A$ ... regulární matice řádu N
 	- lze rozložit na $A = LU$
@@ -67,9 +65,8 @@ Realizovatelnost GEM
 
 LU-rozklad **existuje**, pokud lze provést pivotaci tak, aby se eliminovaly nuly na diagonále.
 
-Jednoznačnost LU-rozkladu
+**Jednoznačnost LU-rozkladu**
 - LU-rozklad **není jednoznačný**. Jednoznačnosti je možné dosáhnout tak, že si zvolíme diagonálu jedné z matic (např. do L dáme na diagonálu jedničky).
-- Pokud je $A$ **regulární** a **všechny pivoty jsou nenulové**, tak existuje jednoznačný LU rozklad (jinak je potřeba provést pivotaci).
 
 **Řešení soustavy LU-metodou**
 1. zadáno $A, b$, provedeme LU-rozklad: $A = LU$
@@ -85,32 +82,46 @@ Jednoznačnost LU-rozkladu
 
 **Choleského rozklad**
 - speciální případ LU-rozkladu pro **pozitivně definitní matice**
+- matici $A$ rozložíme na součin dolní trojúhelníkové matice a její transpozice
 	- $A = L\cdot L^T$
-- pozitivně definitní matice má vždy Chol. rozklad
+- **symetrická a pozitivně definitní matice** má vždy Chol. rozklad
+	- díky symetrii snížíme počet aritmetických operací na polovinu
 - rozklad je jednoznačný, pokud jsou diagonální prvky $L$ kladné
 
 Stabilita LU-rozkladu
-- obecně stabilní, pokud se provádí s pivotací (permutací řádků)
+- **obecně stabilní**, pokud se provádí **s pivotací** (permutací řádků)
 - bez pivotace může být nestabilní, pokud má matice $A$ velmi malé nebo velké prvky
 - Chol. rozklad je numericky stabilní pro pozitivně definitní matice
 
+### Srovnání metod
+
+**GEM**
+- efektivní pro řešení soustav, na PC pro tisíce rovnic
+- při **změně pravé strany** se musí celý výpočet **opakovat**
+
+**LU**
+- efektivní pro **více pravých stran**
+
+**Choleského**
+- méně náročná pro **symetrické a pozitivně definitní matice**
+
 ### Přímé metody pro soustavy se speciální maticí
 
-Symetrická matice
-- používáme symetrickou verzi GEM a LU-rozkladu
+**Symetrická matice**
+- používáme **symetrickou verzi GEM a LU-rozkladu**
 	- $A = LDL^T$ - $D$ je diagonální matice
 	- rozklad zachovává symetrii původní matice
 	- efektivnější, rychlejší a stabilnější než obecná LU-metoda
-- symetrická + pozitivně definitní
+- **symetrická + pozitivně definitní**
 	- Choleského rozklad
 
-Pásová matice
+**Pásová matice**
 - řídká matice s **nenulovými prvky kolem diagonály**
 - **zachovávají se pozice nul** (to v obecném případě neplatí)
-- pásová + symetrická + pozitivně definitní
+- **pásová + symetrická + pozitivně definitní**
 	- Choleského rozklad
 
-3-diagonální matice
+**3-diagonální matice**
 - pásová matice, kde jsou nenulové prvky na 3 diagonálách
 - metoda faktorizace
 	- $A \cdot Y = F$ ... soustava $n+1$ lineárních algebraických rovnic