Úprava poznámek z LAA

KMA LAA/10. Kvadratické formy.md

@@ -29,9 +29,9 @@
 ### Inercie kvadratické formy
 
 - Nechť $\kappa(\vec{x}) = \vec{x}^{T}A\vec{x}$ je kvadratická forma, **A** reálná symetrická matice. Označme
-	- $k$ - počet kladných čísel **A** (vč. násobností);
+	- $k$ - počet kladných vlastních čísel matice **A** (vč. násobností);
-	- $z$ - počet záporných čísel **A**;
+	- $z$ - počet záporných vlastních čísel matice **A**;
-	- $d$ - počet nulových čísel **A**.
+	- $d$ - počet nulových vlastních čísel matice **A**.
 - Trojici čísel ($k$, $z$, $d$) nazýváme **inercií kvadratické formy**.
 - značíme $in(\kappa) = (k, z, d)$
 
@@ -51,7 +51,7 @@
 
 - Nechť $A = [a_{ij}]$ je reálná symetrická matice řádu $n$ a $A_k$ je její podmatice obsahující prvky $a_{11}, a_{12}, \dots, a_{kk}$. Potom číslo $\det(A_k)$ nazveme **hlavním minorem matice** $A$ **řádu** $k$ a značí se $\Delta _{k}$.
 
-### Definitnost kvadratické formy (Sylvestorovo kriterium)
+### Definitnost kvadratické formy (Sylvesterovo kriterium)
 
 - Nechť **A** je reálná symetrická matice řádu $n$ s hlavními minory $\Delta _{1}, \Delta _{2}, \dots, \Delta _{n} \neq 0$.
 - Kvadratická forma $\kappa(\vec{x}) = \vec{x}^{T}A\vec{x}$ je **pozitivně definitní**, jestliže $\Delta _{i} > 0$ pro každé i z $\{1, 2, \dots, n\}$.

KMA LAA/2. Matice.md

@@ -69,7 +69,8 @@ Maticí **typu m/n** nazveme soubor (tabulku) m x n prvků (čísel) $a_{ij}$ za
 	- vynásobíme všechny členy konstantou
 - **Násobení dvou matic**
 	- nekomutativní
-	- matice $A_{m/\underline{n}}$ a $B_{\underline{n}/p}$
+	- pouze když násobíme matici $A_{m/\underline{n}}$ maticí $B_{\underline{n}/p}$
+	- výsledná matice bude $C_{m/p}$
 
 ### Pivot
 

KMA LAA/3. Lineární vektorové prostory.md

@@ -12,7 +12,7 @@ Příklady:
 
 Vektorový prostor V nad tělesem K:
 - sčítání: $V + V \to V$
-- násobení: $K \times V \to V$
+- násobení: $K \cdot V \to V$
 
 | typ | pro všechna                                       | platí                                                           |
 | --- | ------------------------------------------------- | --------------------------------------------------------------- |
@@ -20,10 +20,10 @@ Vektorový prostor V nad tělesem K:
 | S   | $\forall \vec{u}, \vec{v}, \vec{w} \in V$         | $\vec{u} + (\vec{v} + \vec{w}) = (\vec{u} + \vec{v}) + \vec{w}$ |
 | S   | $\exists \vec{o} \in V : \forall \vec{u} \in V$   | $\vec{u} + \vec{o} = \vec{u}$                                   |
 | S   | $\forall \vec{u} \in V \ \ \exists \vec{v} \in V$ | $\vec{u} + \vec{v} = \vec{o}$                                   |
-| N   | $\forall \vec{u} \in V, \forall a, b \in K$       | $a \times (b \times \vec{u}) = (a \times b) \times \vec{u}$     |
+| N   | $\forall \vec{u} \in V, \forall a, b \in K$       | $a \cdot (b \cdot \vec{u}) = (a \cdot b) \cdot \vec{u}$     |
-| N   | $\forall \vec{u} \in V$                           | $1 \times \vec{u} = \vec{u}$                                    |
+| N   | $\forall \vec{u} \in V$                           | $1 \cdot \vec{u} = \vec{u}$                                    |
-| D   | $\forall \vec{u} \in V, \forall a, b \in K$       | $(a + b) \times \vec{u} = a\vec{u} + b\vec{u}$                  |
+| D   | $\forall \vec{u} \in V, \forall a, b \in K$       | $(a + b) \cdot \vec{u} = a\vec{u} + b\vec{u}$                  |
-| D   | $\forall \vec{u}, \vec{v} \in V, \forall a \in K$ | $a \times (\vec{u} + \vec{v}) = a\vec{u} + a\vec{v}$            |
+| D   | $\forall \vec{u}, \vec{v} \in V, \forall a \in K$ | $a \cdot (\vec{u} + \vec{v}) = a\vec{u} + a\vec{v}$            |
 
 ### Podprostor
 

KMA LAA/6. Lineární zobrazení.md

@@ -6,6 +6,8 @@
 
 Nazývá se také **homomorfizmus**.
 
+$\dim(Ker \space \mathbb L) + \dim(Im \space \mathbb L) = \dim(U)$
+
 ### Ověření linearity zobrazení
 
 - zkontrolovat, že platí
@@ -16,7 +18,7 @@ Nazývá se také **homomorfizmus**.
 
 - všechny LK vektorů před zobrazením, které se po zobrazení rovnají 0
 - zjištění přes zjištění LK
-	- $Ker \space \mathbb{L} = \{ \mathbb{L}(V) = 0 \}$
+	- $Ker \space \mathbb{L} = \{ \forall \vec x \in U; \mathbb L (\vec x) = 0  \}$
 - zápis: $Ker \space \mathbb{L} = \langle \vec{u}; \vec{v} \rangle$
 
 Zapíšu zobrazení do matice, po provedení GJEM zjistím, které prvky se zobrazí na nulový vektor (tedy si vyjádřím např. $a, b, c$).
@@ -24,6 +26,7 @@ Zapíšu zobrazení do matice, po provedení GJEM zjistím, které prvky se zobr
 ### Obraz
 
 - všechny LK vektorů po zobrazení
+	- $Im \space \mathbb{L} = \{ \vec y \in V; \exists \vec x U, \mathbb{L}(\vec x) = \vec y \}$
 - zápis: $Im \space \mathbb{L} = \langle \vec{u}; \vec{v} \rangle$
 
 Vypočítám jej opět zapsáním zobrazení do matice a provedením GJEM. Obrazem je poté LN množina vektorů (podobné jako u báze).
@@ -39,7 +42,9 @@ Každý prvek z prostoru $U$ se zobrazí přesně na jeden prvek z prostoru $V$.
 
 ### Izomorfní zobrazení
 
-Lineární zobrazení je **izomorfizmem**, pokud je **prosté** a zároveň $\dim(Im \space \mathbb{L}) = \dim(V)$.
+Lineární zobrazení je **izomorfizmem**, pokud je **prosté** a dimenze jeho obrazu je stejná jako dimenze prostoru V.
+- platí $\dim(Ker \space \mathbb{L}) = \{\vec{o}_{U}\}$ a $\dim(Im \space \mathbb{L}) = \dim(V)$
+- $\dim(U) = \dim(V)$
 
 ## Matice lineárního zobrazení
 

KMA LAA/8. Vlastní čísla a vlastní vektory.md

@@ -52,7 +52,7 @@ Matice $A$ a $B$ jsou podobné, jestli existuje matice $T$ taková, aby platilo
 	- $TAT^{-1} = B$
 - každá matice je podobná sama sobě ($T$ by byla jednotková matice $I$)
 
-Pokud jsou matice A a B podobné, mají stejné charakteristické polynomy i spektra.
+Pokud jsou matice A a B podobné, mají **stejné charakteristické polynomy i spektra**.
 
 #### Diagonalizace
 

KMA LAA/9. Prostory se skalárním součinem.md

@@ -13,12 +13,12 @@ se nazývá **skalární součin**.
 Skalární součin se vypočítá součinem prvků na stejných pozicí ve vektoru a jejich sečtením.
 - např. v $\mathbb{R}^3 : (\vec{x}, \vec{y}) = x_{1}y_{1} + x_{2}y_{2} + x_{3}y_{3}$
 
-#### Skalární součin v prostorech nad $\mathbb{C}$
+#### Skalární součin v prostorech nad C
 
-Nechť $U$ je lineární vektorový prostor nad $C$. Zobrazení $(\vec{x}, \vec{y}) : U \times U \to \mathbb{C}$ splňující vlastnosti
+Nechť $U$ je lineární vektorový prostor nad $\mathbb{C}$. Zobrazení $(\vec{x}, \vec{y}) : U \times U \to \mathbb{C}$ splňující vlastnosti
 1. $(\vec{x}, \vec{x}) \geq 0$ pro každé $\vec{x} \in U; (\vec{x}, \vec{x}) = 0$, právě když $\vec{x} = \vec{o}$,
 2. $(\vec{x}, \vec{y}) = \overline{(\vec{y}, \vec{x})} \space \forall \vec{x}, \vec{y} \in U$,
-3. $(k\vec{x}, \vec{y}) = k(\vec{x}, \vec{y}) \space \forall \vec{x}, \vec{y} \in U$ a $\forall k \in \mathbb{C}$
+3. $(k\vec{x}, \vec{y}) = k(\vec{x}, \vec{y}) \space \forall \vec{x}, \vec{y} \in U$ a $\forall k \in \mathbb{C}$,
 4. $(\vec{x} + \vec{y}, \vec{z}) = (\vec{x}, \vec{z}) + (\vec{y}, \vec{z}) \space \forall \vec{x}, \vec{y}, \vec{z} \in U$,
 
 se nazývá **skalární součin**. L.V.P. se skalárním součinem se nazývá **Unitární prostor**.
@@ -165,7 +165,7 @@ Je-li $V$ podprostorem prostoru $U$ a $\vec{x} \notin V$, potom existuje právě
 - Pro každý vektor $\vec{y} \in V$ platí $\Vert \vec{x} - \vec{y} \Vert \geq \Vert \vec{x} - \overline{\vec{x}} \Vert$ a rovnost nastává, právě když $\vec{y} = \overline{\vec{x}}$.
 
 **Postup**:
-1. Potřebujeme prvky báze $\vec{b}_{i}$ prostoru, do kterého děláme prmět a prvek $\vec{z}$, jehož průmět budeme zjišťovat.
+1. Potřebujeme prvky báze $\vec{b}_{i}$ prostoru, do kterého děláme průmět a prvek $\vec{z}$, jehož průmět budeme zjišťovat.
 2. Pomocí vzorečku $(\vec{b_{1}}, \vec{b_{i}}) + (\vec{b_{2}}, \vec{b_{i}}) + \dots + (\vec{b_{i}}, \vec{b_{i}}) = (\vec{z}, \vec{b_{i}})$ vytvoříme Gramovu matici.
 3. Pomocí GJEM vyřešíme levou část matice, abychom zde získali jednotkovou matici.
 4. Výsledkem je vektor v pravé části matice.