From 54e9ec1c3e189ee48a6943831bf445e6d037085e Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Filip Znachor Date: Mon, 2 Jan 2023 21:35:12 +0100 Subject: [PATCH] =?UTF-8?q?=C3=9Aprava=20pozn=C3=A1mek=20z=20LAA?= MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=UTF-8 Content-Transfer-Encoding: 8bit --- KMA LAA/10. Kvadratické formy.md | 8 ++++---- KMA LAA/2. Matice.md | 3 ++- KMA LAA/3. Lineární vektorové prostory.md | 10 +++++----- KMA LAA/6. Lineární zobrazení.md | 9 +++++++-- KMA LAA/8. Vlastní čísla a vlastní vektory.md | 2 +- KMA LAA/9. Prostory se skalárním součinem.md | 8 ++++---- 6 files changed, 23 insertions(+), 17 deletions(-) diff --git a/KMA LAA/10. Kvadratické formy.md b/KMA LAA/10. Kvadratické formy.md index 7ff184a..efa1b21 100644 --- a/KMA LAA/10. Kvadratické formy.md +++ b/KMA LAA/10. Kvadratické formy.md @@ -29,9 +29,9 @@ ### Inercie kvadratické formy - Nechť $\kappa(\vec{x}) = \vec{x}^{T}A\vec{x}$ je kvadratická forma, **A** reálná symetrická matice. Označme - - $k$ - počet kladných čísel **A** (vč. násobností); - - $z$ - počet záporných čísel **A**; - - $d$ - počet nulových čísel **A**. + - $k$ - počet kladných vlastních čísel matice **A** (vč. násobností); + - $z$ - počet záporných vlastních čísel matice **A**; + - $d$ - počet nulových vlastních čísel matice **A**. - Trojici čísel ($k$, $z$, $d$) nazýváme **inercií kvadratické formy**. - značíme $in(\kappa) = (k, z, d)$ @@ -51,7 +51,7 @@ - Nechť $A = [a_{ij}]$ je reálná symetrická matice řádu $n$ a $A_k$ je její podmatice obsahující prvky $a_{11}, a_{12}, \dots, a_{kk}$. Potom číslo $\det(A_k)$ nazveme **hlavním minorem matice** $A$ **řádu** $k$ a značí se $\Delta _{k}$. -### Definitnost kvadratické formy (Sylvestorovo kriterium) +### Definitnost kvadratické formy (Sylvesterovo kriterium) - Nechť **A** je reálná symetrická matice řádu $n$ s hlavními minory $\Delta _{1}, \Delta _{2}, \dots, \Delta _{n} \neq 0$. - Kvadratická forma $\kappa(\vec{x}) = \vec{x}^{T}A\vec{x}$ je **pozitivně definitní**, jestliže $\Delta _{i} > 0$ pro každé i z $\{1, 2, \dots, n\}$. diff --git a/KMA LAA/2. Matice.md b/KMA LAA/2. Matice.md index e1172fa..782b7ef 100644 --- a/KMA LAA/2. Matice.md +++ b/KMA LAA/2. Matice.md @@ -69,7 +69,8 @@ Maticí **typu m/n** nazveme soubor (tabulku) m x n prvků (čísel) $a_{ij}$ za - vynásobíme všechny členy konstantou - **Násobení dvou matic** - nekomutativní - - matice $A_{m/\underline{n}}$ a $B_{\underline{n}/p}$ + - pouze když násobíme matici $A_{m/\underline{n}}$ maticí $B_{\underline{n}/p}$ + - výsledná matice bude $C_{m/p}$ ### Pivot diff --git a/KMA LAA/3. Lineární vektorové prostory.md b/KMA LAA/3. Lineární vektorové prostory.md index 8d939cd..06d8fbf 100644 --- a/KMA LAA/3. Lineární vektorové prostory.md +++ b/KMA LAA/3. Lineární vektorové prostory.md @@ -12,7 +12,7 @@ Příklady: Vektorový prostor V nad tělesem K: - sčítání: $V + V \to V$ -- násobení: $K \times V \to V$ +- násobení: $K \cdot V \to V$ | typ | pro všechna | platí | | --- | ------------------------------------------------- | --------------------------------------------------------------- | @@ -20,10 +20,10 @@ Vektorový prostor V nad tělesem K: | S | $\forall \vec{u}, \vec{v}, \vec{w} \in V$ | $\vec{u} + (\vec{v} + \vec{w}) = (\vec{u} + \vec{v}) + \vec{w}$ | | S | $\exists \vec{o} \in V : \forall \vec{u} \in V$ | $\vec{u} + \vec{o} = \vec{u}$ | | S | $\forall \vec{u} \in V \ \ \exists \vec{v} \in V$ | $\vec{u} + \vec{v} = \vec{o}$ | -| N | $\forall \vec{u} \in V, \forall a, b \in K$ | $a \times (b \times \vec{u}) = (a \times b) \times \vec{u}$ | -| N | $\forall \vec{u} \in V$ | $1 \times \vec{u} = \vec{u}$ | -| D | $\forall \vec{u} \in V, \forall a, b \in K$ | $(a + b) \times \vec{u} = a\vec{u} + b\vec{u}$ | -| D | $\forall \vec{u}, \vec{v} \in V, \forall a \in K$ | $a \times (\vec{u} + \vec{v}) = a\vec{u} + a\vec{v}$ | +| N | $\forall \vec{u} \in V, \forall a, b \in K$ | $a \cdot (b \cdot \vec{u}) = (a \cdot b) \cdot \vec{u}$ | +| N | $\forall \vec{u} \in V$ | $1 \cdot \vec{u} = \vec{u}$ | +| D | $\forall \vec{u} \in V, \forall a, b \in K$ | $(a + b) \cdot \vec{u} = a\vec{u} + b\vec{u}$ | +| D | $\forall \vec{u}, \vec{v} \in V, \forall a \in K$ | $a \cdot (\vec{u} + \vec{v}) = a\vec{u} + a\vec{v}$ | ### Podprostor diff --git a/KMA LAA/6. Lineární zobrazení.md b/KMA LAA/6. Lineární zobrazení.md index 5d5ec9b..7a76bc4 100644 --- a/KMA LAA/6. Lineární zobrazení.md +++ b/KMA LAA/6. Lineární zobrazení.md @@ -6,6 +6,8 @@ Nazývá se také **homomorfizmus**. +$\dim(Ker \space \mathbb L) + \dim(Im \space \mathbb L) = \dim(U)$ + ### Ověření linearity zobrazení - zkontrolovat, že platí @@ -16,7 +18,7 @@ Nazývá se také **homomorfizmus**. - všechny LK vektorů před zobrazením, které se po zobrazení rovnají 0 - zjištění přes zjištění LK - - $Ker \space \mathbb{L} = \{ \mathbb{L}(V) = 0 \}$ + - $Ker \space \mathbb{L} = \{ \forall \vec x \in U; \mathbb L (\vec x) = 0 \}$ - zápis: $Ker \space \mathbb{L} = \langle \vec{u}; \vec{v} \rangle$ Zapíšu zobrazení do matice, po provedení GJEM zjistím, které prvky se zobrazí na nulový vektor (tedy si vyjádřím např. $a, b, c$). @@ -24,6 +26,7 @@ Zapíšu zobrazení do matice, po provedení GJEM zjistím, které prvky se zobr ### Obraz - všechny LK vektorů po zobrazení + - $Im \space \mathbb{L} = \{ \vec y \in V; \exists \vec x U, \mathbb{L}(\vec x) = \vec y \}$ - zápis: $Im \space \mathbb{L} = \langle \vec{u}; \vec{v} \rangle$ Vypočítám jej opět zapsáním zobrazení do matice a provedením GJEM. Obrazem je poté LN množina vektorů (podobné jako u báze). @@ -39,7 +42,9 @@ Každý prvek z prostoru $U$ se zobrazí přesně na jeden prvek z prostoru $V$. ### Izomorfní zobrazení -Lineární zobrazení je **izomorfizmem**, pokud je **prosté** a zároveň $\dim(Im \space \mathbb{L}) = \dim(V)$. +Lineární zobrazení je **izomorfizmem**, pokud je **prosté** a dimenze jeho obrazu je stejná jako dimenze prostoru V. +- platí $\dim(Ker \space \mathbb{L}) = \{\vec{o}_{U}\}$ a $\dim(Im \space \mathbb{L}) = \dim(V)$ +- $\dim(U) = \dim(V)$ ## Matice lineárního zobrazení diff --git a/KMA LAA/8. Vlastní čísla a vlastní vektory.md b/KMA LAA/8. Vlastní čísla a vlastní vektory.md index e3430cf..76c10c1 100644 --- a/KMA LAA/8. Vlastní čísla a vlastní vektory.md +++ b/KMA LAA/8. Vlastní čísla a vlastní vektory.md @@ -52,7 +52,7 @@ Matice $A$ a $B$ jsou podobné, jestli existuje matice $T$ taková, aby platilo - $TAT^{-1} = B$ - každá matice je podobná sama sobě ($T$ by byla jednotková matice $I$) -Pokud jsou matice A a B podobné, mají stejné charakteristické polynomy i spektra. +Pokud jsou matice A a B podobné, mají **stejné charakteristické polynomy i spektra**. #### Diagonalizace diff --git a/KMA LAA/9. Prostory se skalárním součinem.md b/KMA LAA/9. Prostory se skalárním součinem.md index 91a6e73..1f3a474 100644 --- a/KMA LAA/9. Prostory se skalárním součinem.md +++ b/KMA LAA/9. Prostory se skalárním součinem.md @@ -13,12 +13,12 @@ se nazývá **skalární součin**. Skalární součin se vypočítá součinem prvků na stejných pozicí ve vektoru a jejich sečtením. - např. v $\mathbb{R}^3 : (\vec{x}, \vec{y}) = x_{1}y_{1} + x_{2}y_{2} + x_{3}y_{3}$ -#### Skalární součin v prostorech nad $\mathbb{C}$ +#### Skalární součin v prostorech nad C -Nechť $U$ je lineární vektorový prostor nad $C$. Zobrazení $(\vec{x}, \vec{y}) : U \times U \to \mathbb{C}$ splňující vlastnosti +Nechť $U$ je lineární vektorový prostor nad $\mathbb{C}$. Zobrazení $(\vec{x}, \vec{y}) : U \times U \to \mathbb{C}$ splňující vlastnosti 1. $(\vec{x}, \vec{x}) \geq 0$ pro každé $\vec{x} \in U; (\vec{x}, \vec{x}) = 0$, právě když $\vec{x} = \vec{o}$, 2. $(\vec{x}, \vec{y}) = \overline{(\vec{y}, \vec{x})} \space \forall \vec{x}, \vec{y} \in U$, -3. $(k\vec{x}, \vec{y}) = k(\vec{x}, \vec{y}) \space \forall \vec{x}, \vec{y} \in U$ a $\forall k \in \mathbb{C}$ +3. $(k\vec{x}, \vec{y}) = k(\vec{x}, \vec{y}) \space \forall \vec{x}, \vec{y} \in U$ a $\forall k \in \mathbb{C}$, 4. $(\vec{x} + \vec{y}, \vec{z}) = (\vec{x}, \vec{z}) + (\vec{y}, \vec{z}) \space \forall \vec{x}, \vec{y}, \vec{z} \in U$, se nazývá **skalární součin**. L.V.P. se skalárním součinem se nazývá **Unitární prostor**. @@ -165,7 +165,7 @@ Je-li $V$ podprostorem prostoru $U$ a $\vec{x} \notin V$, potom existuje právě - Pro každý vektor $\vec{y} \in V$ platí $\Vert \vec{x} - \vec{y} \Vert \geq \Vert \vec{x} - \overline{\vec{x}} \Vert$ a rovnost nastává, právě když $\vec{y} = \overline{\vec{x}}$. **Postup**: -1. Potřebujeme prvky báze $\vec{b}_{i}$ prostoru, do kterého děláme prmět a prvek $\vec{z}$, jehož průmět budeme zjišťovat. +1. Potřebujeme prvky báze $\vec{b}_{i}$ prostoru, do kterého děláme průmět a prvek $\vec{z}$, jehož průmět budeme zjišťovat. 2. Pomocí vzorečku $(\vec{b_{1}}, \vec{b_{i}}) + (\vec{b_{2}}, \vec{b_{i}}) + \dots + (\vec{b_{i}}, \vec{b_{i}}) = (\vec{z}, \vec{b_{i}})$ vytvoříme Gramovu matici. 3. Pomocí GJEM vyřešíme levou část matice, abychom zde získali jednotkovou matici. 4. Výsledkem je vektor v pravé části matice.