Přidání poznámek k ortogonálnímu průmětu v LAA
This commit is contained in:
parent
a1cfa66089
commit
54139b1fd2
2 changed files with 71 additions and 1 deletions
|
@ -10,7 +10,20 @@ Nechť $U$ je lineární vektorový prostor nad $\mathbb{R}$. Zobrazení $(\vec{
|
||||||
|
|
||||||
se nazývá **skalární součin**.
|
se nazývá **skalární součin**.
|
||||||
|
|
||||||
### Euklidovský prostor
|
#### Skalární součin v prostorech nad $\mathbb{C}$
|
||||||
|
|
||||||
|
Nechť $U$ je lineární vektorový prostor nad $C$. Zobrazení $(\vec{x}, \vec{y}) : U \times U \to \mathbb{C}$ splňující vlastnosti
|
||||||
|
1. $(\vec{x}, \vec{x}) \geq 0$ pro každé $\vec{x} \in U; (\vec{x}, \vec{x}) = 0$, právě když $\vec{x} = \vec{o}$,
|
||||||
|
2. $(\vec{x}, \vec{y}) = \overline{(\vec{y}, \vec{x})} \space \forall \vec{x}, \vec{y} \in U$,
|
||||||
|
3. $(k\vec{x}, \vec{y}) = k(\vec{x}, \vec{y}) \space \forall \vec{x}, \vec{y} \in U$ a $\forall k \in \mathbb{C}$
|
||||||
|
4. $(\vec{x} + \vec{y}, \vec{z}) = (\vec{x}, \vec{z}) + (\vec{y}, \vec{z}) \space \forall \vec{x}, \vec{y}, \vec{z} \in U$,
|
||||||
|
|
||||||
|
se nazývá **skalární součin**. L.V.P. se skalárním součinem se nazývá **Unitární prostor**.
|
||||||
|
|
||||||
|
Vše zde funguje jako v Eukleidovském prostoru, až na Pythagorovu větu, kde neplatí opačná implikace, tj.
|
||||||
|
platí-li rovnost $\Vert \vec{x} + \vec{y} \Vert^2 = \Vert \vec{x} \Vert^2 + \Vert \vec{y} \Vert^2$, potom nemusí platit, že $\vec{x} \perp \vec{y}$.
|
||||||
|
|
||||||
|
### Eukleidovský prostor
|
||||||
|
|
||||||
Lineární vektorový prostor se skalárním součinem se nazývá **Eukleidovský prostor**.
|
Lineární vektorový prostor se skalárním součinem se nazývá **Eukleidovský prostor**.
|
||||||
|
|
||||||
|
@ -89,3 +102,60 @@ V každém Eukleidovském prostoru konečné dimenze existuje ortogonální báz
|
||||||
$$
|
$$
|
||||||
|
|
||||||
5. Pak jistě $\vec{g}_{k} \perp \vec{g}_{1}, \vec{g}_{k} \perp \vec{g}_{2}, \dots, \vec{g}_{k} \perp \vec{g}_{k-1}$.
|
5. Pak jistě $\vec{g}_{k} \perp \vec{g}_{1}, \vec{g}_{k} \perp \vec{g}_{2}, \dots, \vec{g}_{k} \perp \vec{g}_{k-1}$.
|
||||||
|
|
||||||
|
### Ortogonální průmět
|
||||||
|
|
||||||
|
Mějme Eukleidovský prostor $U$, jeho podprostor $V$ a v něm generátor (ne nutně bázi) $\vec{b}_{1}, \vec{b}_{2}, \dots, \vec{b}_{k}$. Máme určit ortogonální průmět $\overline{\vec{x}}$ prvku $\vec{x} \in U$ do $V$.
|
||||||
|
- Víme, že $\vec{x} - \overline{\vec{x}} \perp \vec{b}_{i}$ pro každé $i = 1, 2, \dots, k$.
|
||||||
|
- Dále: $\overline{\vec{x}} \in V$, tedy $\overline{\vec{x}} = a_{1}\vec{b}_{1} + a_{2}\vec{b}_{2} + \dots + a_{k}\vec{b}_{k}$ (je to LK generátorů).
|
||||||
|
|
||||||
|
![[_assets/ortogonalni-prumet.png]]
|
||||||
|
|
||||||
|
Pro každé $i = 1, 2, \dots, k$ platí:
|
||||||
|
|
||||||
|
$$
|
||||||
|
0 = (\vec{b}_{i}, \vec{x} - \overline{\vec{x}}) = (\vec{b}_{i}, \vec{x} - a_{1}\vec{b}_{1} + a_{2}\vec{b}_{2} + \dots + a_{k}\vec{b}_{k}) = (\vec{b}_{i}, \vec{x}) - a_{1}(\vec{b}_{i}, \vec{b}_{1}) - a_{2}(\vec{b}_{i}, \vec{b}_{2}) - \dots - a_{k}(\vec{b}_{i}, \vec{b}_{k}).
|
||||||
|
$$
|
||||||
|
|
||||||
|
Dostaneme tak soustavu rovnic:
|
||||||
|
|
||||||
|
$$
|
||||||
|
\begin{matrix}
|
||||||
|
(\vec{b}_{1}, \vec{b}_{1})a_{1} + (\vec{b}_{1}, \vec{b}_{2})a_{2} + \dots + (\vec{b}_{1}, \vec{b}_{k})a_{k} = (\vec{b}_{i}, \vec{x}) \qquad i=1 \\
|
||||||
|
(\vec{b}_{2}, \vec{b}_{1})a_{1} + (\vec{b}_{2}, \vec{b}_{2})a_{2} + \dots + (\vec{b}_{2}, \vec{b}_{k})a_{k} = (\vec{b}_{2}, \vec{x}) \qquad i=2 \\
|
||||||
|
\vdots \qquad\qquad \vdots \qquad\qquad \vdots \qquad\qquad \vdots \\
|
||||||
|
(\vec{b}_{k}, \vec{b}_{1})a_{1} + (\vec{b}_{k}, \vec{b}_{2})a_{2} + \dots + (\vec{b}_{k}, \vec{b}_{k})a_{k} = (\vec{b}_{k}, \vec{x}) \qquad i=k
|
||||||
|
\end{matrix}
|
||||||
|
$$
|
||||||
|
|
||||||
|
tedy **Gramovu matici**:
|
||||||
|
|
||||||
|
$$
|
||||||
|
\begin{bmatrix}
|
||||||
|
(\vec{b}_{1}, \vec{b}_{1}) & (\vec{b}_{1}, \vec{b}_{2}) & \dots & (\vec{b}_{1}, \vec{b}_{k}) \\
|
||||||
|
(\vec{b}_{2}, \vec{b}_{1}) & (\vec{b}_{2}, \vec{b}_{2}) & \dots & (\vec{b}_{2}, \vec{b}_{k}) \\
|
||||||
|
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\
|
||||||
|
(\vec{b}_{k}, \vec{b}_{1}) & (\vec{b}_{k}, \vec{b}_{2}) & \dots & (\vec{b}_{k}, \vec{b}_{k})
|
||||||
|
\end{bmatrix}
|
||||||
|
\begin{bmatrix}
|
||||||
|
a_{1} \\
|
||||||
|
a_{2} \\
|
||||||
|
\vdots \\
|
||||||
|
a_{3}
|
||||||
|
\end{bmatrix}
|
||||||
|
=
|
||||||
|
\begin{bmatrix}
|
||||||
|
(\vec{b}_{1}, \vec{x}) \\
|
||||||
|
(\vec{b}_{2}, \vec{x}) \\
|
||||||
|
\vdots \\
|
||||||
|
(\vec{b}_{k}, \vec{x})
|
||||||
|
\end{bmatrix}
|
||||||
|
$$
|
||||||
|
|
||||||
|
- Je-li $\{ \vec{b}_{1}, \vec{b}_{2}, \dots, \vec{b}_{k} \}$ **ortogonální báze**, potom **Gramova matice je diagonální**.
|
||||||
|
- Gramova matice je regulární, právě když množina vektorů $\vec{b}_{1}, \vec{b}_{2}, \dots, \vec{b}_{k}$ je LN.
|
||||||
|
|
||||||
|
Zřejmě $\overline{\vec{x}}$ je nejbližším vektorem k $\vec{x}$ ve $V$.
|
||||||
|
|
||||||
|
Je-li $V$ podprostorem prostoru $U$ a $\vec{x} \notin V$, potom existuje právě jeden prvek $\overline{\vec{x}}$ takový, že $\vec{x} - \overline{\vec{x}} \perp V$ a $\overline{\vec{x}} \in V$.
|
||||||
|
- Pro každý vektor $\vec{y} \in V$ platí $\Vert \vec{x} - \vec{y} \Vert \geq \Vert \vec{x} - \overline{\vec{x}} \Vert$ a rovnost nastává, právě když $\vec{y} = \overline{\vec{x}}$.
|
BIN
KMA LAA/_assets/ortogonalni-prumet.png
Normal file
BIN
KMA LAA/_assets/ortogonalni-prumet.png
Normal file
Binary file not shown.
After Width: | Height: | Size: 52 KiB |
Loading…
Reference in a new issue