Přidání poznámek k limitám a spojitosti funkce v M1
This commit is contained in:
parent
4b41d6d4b2
commit
36e9be122a
1 changed files with 36 additions and 4 deletions
|
@ -9,17 +9,31 @@ $$
|
||||||
|
|
||||||
a píšeme $\displaystyle\lim_{ x \to \infty }{f(x)} = b$.
|
a píšeme $\displaystyle\lim_{ x \to \infty }{f(x)} = b$.
|
||||||
|
|
||||||
|
### Jednoznačnost limity
|
||||||
|
|
||||||
|
Každá funkce má v bodě nejvýše jednu limitu (limitu zprava, limitu zleva).
|
||||||
|
|
||||||
|
Pro $x_{0} \in \mathbb{R}$ a $b \in \mathbb{R}^*$ platí $\displaystyle \lim_{ x \to x_{0} } f(x) = b$ právě tehdy, když $\displaystyle \lim_{ x \to x_{0}^- } f(x) = \lim_{ x \to x_{0}^+ } f(x) = b$.
|
||||||
|
|
||||||
### Algebra limit
|
### Algebra limit
|
||||||
|
|
||||||
Mějme dány funkce $f$ a $g$, které mají stejný definiční obor $D$ a mají v bodě $x_{0} \in \mathbb{R}^*$ limitu
|
Mějme dány funkce $f$ a $g$, které mají stejný definiční obor $D$ a mají v bodě $x_{0} \in \mathbb{R}^*$ limitu
|
||||||
|
|
||||||
$$\lim_{ n \to x_{0} } f(x) = a \in \mathbb{R}^*, \lim_{ n \to x_{0} } g(x) = b \in \mathbb{R}^*.$$
|
$$\lim_{ x \to x_{0} } f(x) = a \in \mathbb{R}^*, \lim_{ x \to x_{0} } g(x) = b \in \mathbb{R}^*.$$
|
||||||
|
|
||||||
Potom platí
|
Potom platí
|
||||||
- $\displaystyle\lim_{ x \to x_{0} } (f(x) + g(x)) = a + b, \quad$ pokud je pravá strana definována,
|
- $\displaystyle\lim_{ x \to x_{0} } (f(x) + g(x)) = a + b, \quad$ pokud je pravá strana definována,
|
||||||
- $\displaystyle\lim_{ x \to x_{0} } (f(x) \cdot g(x)) = a \cdot b, \quad$ pokud je pravá strana definována,
|
- $\displaystyle\lim_{ x \to x_{0} } (f(x) \cdot g(x)) = a \cdot b, \quad$ pokud je pravá strana definována,
|
||||||
- $\displaystyle\lim_{ x \to x_{0} } \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{a}{b}, \quad$ pokud $\quad\forall \, x \in D : g(x) \neq 0\quad$ a pokud je pravá strana definována.
|
- $\displaystyle\lim_{ x \to x_{0} } \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{a}{b}, \quad$ pokud $\quad\forall \, x \in D : g(x) \neq 0\quad$ a pokud je pravá strana definována.
|
||||||
|
|
||||||
|
### Věta o sevření
|
||||||
|
|
||||||
|
Mějme dány funkce $f, g, h$ se stejným definičním oborem $D$ a bod $x_{0} \in \mathbb{R}^*$. Dále předpokládejme, že platí
|
||||||
|
1) $\exists \, \delta > 0 \, \forall \, x \in D \, \cap \, P(x_{0}, \delta) : f(x) \leq g(x) \leq h(x)$,
|
||||||
|
2) $\displaystyle \lim_{ x \to x_{0} } f(x) = \lim_{ x \to x_{0} } h(x) = b \in \mathbb{R}^*$.
|
||||||
|
|
||||||
|
Věta 4.5, 4.6
|
||||||
|
|
||||||
## Spojitost funkce
|
## Spojitost funkce
|
||||||
|
|
||||||
- spojité funkce umíme načrtnout jedním tahem
|
- spojité funkce umíme načrtnout jedním tahem
|
||||||
|
@ -27,7 +41,7 @@ Potom platí
|
||||||
- spojité procesy (růst člověka)
|
- spojité procesy (růst člověka)
|
||||||
- nespojité procesy (bankovní účet)
|
- nespojité procesy (bankovní účet)
|
||||||
|
|
||||||
Funkce $f$ je
|
Mějme dánu funkci $f : D \to \mathbb{R}$, bod $x_{0} \in D$, který je hromadným bodem $D$. Řekněme, že funkce $f$ je
|
||||||
|
|
||||||
| typ spojitosti | podmínka |
|
| typ spojitosti | podmínka |
|
||||||
| ------------------------------ | ---------------------------------------------------------- |
|
| ------------------------------ | ---------------------------------------------------------- |
|
||||||
|
@ -35,7 +49,7 @@ Funkce $f$ je
|
||||||
| spojitá zprava v $x_0 \in D_f$ | pokud $\displaystyle f(x_{0}) = f(x_{0}+)$ |
|
| spojitá zprava v $x_0 \in D_f$ | pokud $\displaystyle f(x_{0}) = f(x_{0}+)$ |
|
||||||
| spojitá zleva v $x_0 \in D_f$ | pokud $\displaystyle f(x_{0}) = f(x_{0}-)$ |
|
| spojitá zleva v $x_0 \in D_f$ | pokud $\displaystyle f(x_{0}) = f(x_{0}-)$ |
|
||||||
|
|
||||||
Pokud $x_{0} \in D$ je izolovaným bodem $D$, potom funkce $f$ je spojitá v bodě $x_{0}$.
|
Pokud $x_{0} \in D$ je izolovaným bodem $D$, potom funkce $f$ je **spojitá v bodě** $x_{0}$.
|
||||||
|
|
||||||
### Body nespojitosti
|
### Body nespojitosti
|
||||||
|
|
||||||
|
@ -55,3 +69,21 @@ Bod $x_{0}$ je **bod nespojitosti** funkce $f$, pokud funkce $f$ v bodě $x_{0}$
|
||||||
- **NN2D** - neodstranitelná nespojitost 2. druhu
|
- **NN2D** - neodstranitelná nespojitost 2. druhu
|
||||||
- **podmínka**: neexistuje vlastní limita $f(x_{0}+)$ nebo $f(x_{0}-)$
|
- **podmínka**: neexistuje vlastní limita $f(x_{0}+)$ nebo $f(x_{0}-)$
|
||||||
- alespoň jedna neexistuje nebo není alespoň jedna vlastní
|
- alespoň jedna neexistuje nebo není alespoň jedna vlastní
|
||||||
|
|
||||||
|
Věta 4.7, 4.8, 4.9
|
||||||
|
|
||||||
|
### Spojitost na intervalu
|
||||||
|
|
||||||
|
Mějme dánu funkci $f : D \to \mathbb{R}$ a interval $I \subset D$. Řekněme, že funkce $f$ je **spojitá na intervalu** $I$ jestliže je spojitá v každém vnitřním bodě intervalu $I$ a patří-li levý (pravý) koncový bod tohoto intervalu do $I$, je v něm spojitá zprava (zleva).
|
||||||
|
|
||||||
|
#### Cauchyho věta
|
||||||
|
|
||||||
|
Mějme dánu funkci $f$, která je spojitá na **uzavřeném** intervalu $\langle a;b \rangle$ a pro kterou platí $f(a) \cdot f(b) < 0$. Potom existuje $\xi \in (a;b)$ tak, že $f(\xi) = 0$.
|
||||||
|
|
||||||
|
#### Weierstrassova věta
|
||||||
|
|
||||||
|
Mějme dánu funkci $f$, která je spojitá na **uzavřeném** intervalu. Potom funkce $f$ je na tomto intervalu omezená a nabývá na něm své nejmenší a největší funkční hodnoty.
|
||||||
|
|
||||||
|
#### Bolzanova věta
|
||||||
|
|
||||||
|
Mějme dánu funkci $f$, která je spojitá na **uzavřeném** intervalu. Potom funkce $f$ na tomto intervalu nabývá všech mezihodnot mezi svou nejmenší a největší funkční hodnotou.
|
Loading…
Reference in a new issue