Úpravy poznámek k determinantům v LAA
This commit is contained in:
parent
55e3e26388
commit
03e89c2033
1 changed files with 28 additions and 21 deletions
|
@ -66,13 +66,15 @@ J_{2} & \mathbf{2} & 4 & 3 & \mathbf{1} & 5
|
|||
\end{matrix}
|
||||
$$
|
||||
|
||||
### Znaménko permutace $\pi$
|
||||
|
||||
Permutace je **sudá nebo lichá** podle sudého nebo lichého počtu transpozic.
|
||||
- **Znaménko permutace** $\pi$ je pak číslo
|
||||
|
||||
$$
|
||||
zn(\pi) = \begin{cases}1, \text{je-li } \pi \text{ sudá} \\ -1, \text{je-li } \pi \text{ lichá}\end{cases}
|
||||
$$
|
||||
- Znaménko permutace vzniklé složením dvou permutací se rovná součinu znamének každé permutace.
|
||||
|
||||
Znaménko permutace vzniklé složením dvou permutací se rovná součinu znamének každé permutace.
|
||||
- $zn(\pi_1 \circ \pi_{2}) = zn(\pi_{1}) \cdot zn(\pi_{2})$
|
||||
|
||||
## Determinant
|
||||
|
@ -85,23 +87,29 @@ kde sčítáme přes všechny permutace na množině $\{1, 2, \dots, n\}$.
|
|||
|
||||
- determinant je suma všech permutací vzniklých z diagonálního řádku matice, kde sudá permutace je s kladným znaménkem a lichá se záporným
|
||||
- v součinu prvků v definici determinantu je z každého řádku a z každého sloupce vybrán právě jeden prvek
|
||||
- $det(A) = det(A^{T})$
|
||||
- $\det(A) = \det(A^{T})$
|
||||
|
||||
### Algebraický doplněk matice
|
||||
|
||||
Subdeterminant (minor) vzniklý z matice vynecháním $i$-tého řádku a $j$-tého sloupce.
|
||||
- $(-1)^{i+j} \det A[\cancel{i/j}]$
|
||||
|
||||
### Rozvoj podle i-tého řádku
|
||||
Symbolem $A[\cancel{i/j}]$ značíme matice A s vynechaným $i$-tým řádkem a $j$-tým sloupcem.
|
||||
|
||||
- A je čtvercová matice řádu $n$
|
||||
- $i \in {\{ 1, 2, ..., n \}}$
|
||||
- $det(A) = a_{i1}A_{i1}+a_{i2}A_{i2} + ... + a_{in}A_{in} = \sum_{j=1}^{n}a_{ij}A_{ij}$
|
||||
- elementární úpravy:
|
||||
### Rozvoj podle i-tého řádku (sloupce)
|
||||
|
||||
Nechť A je čtvercová matice řádu $n$ a $i \in {\{ 1, 2, \dots, n \}}$.
|
||||
|
||||
$\displaystyle \det(A) = a_{i1}A_{i1}+a_{i2}A_{i2} + \dots + a_{in}A_{in} = \sum_{j=1}^{n}a_{ij}A_{ij}$
|
||||
|
||||
**Elementární úpravy**:
|
||||
- prohození dvou řádků matice
|
||||
- vynásobení (vydělení) řádku matice nenulovým číslem
|
||||
- přičtení $k$-násobku $i$-tého řádku k $j$-tému
|
||||
- pro determinanty můžeme využívat analogicky i sloupcové elementární úpravy
|
||||
|
||||
Pro determinanty můžeme využívat analogicky i sloupcové elementární úpravy, protože $\det(A) = \det(A^T)$.
|
||||
|
||||
Rozvojem se řeší všechny determinanty řádu $\geq 4$.
|
||||
|
||||
### Vlastnosti determinantu
|
||||
|
||||
|
@ -109,8 +117,8 @@ Subdeterminant (minor) vzniklý z matice vynecháním $i$-tého řádku a $j$-t
|
|||
2. Výměna řádků otočí znaménko
|
||||
3. Vynásobení řádku číslem $a$ znamená $a \cdot \det \dots$
|
||||
4. $\displaystyle\begin{bmatrix}a+a' & b+b' \\ c & d\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}a & b \\ c & d\end{bmatrix} + \begin{bmatrix}a' & b' \\ c & d\end{bmatrix}$
|
||||
5. Dva stejné řádky $\implies \det A = 0$
|
||||
6. Řádek samých nul $\implies \det A = 0$
|
||||
5. Dva stejné řádky/sloupce $\implies \det A = 0$
|
||||
6. Řádek/sloupec samých nul $\implies \det A = 0$
|
||||
7. Přičtení $a$-násobku jiného řádku $\implies \det A$ je stejný
|
||||
8. Trojúhelníková matice $\implies \det A$ je součin prvků na diagonále
|
||||
9. Singulární matice $\implies \det A = 0$ (nesingulární $\implies \det A \neq 0$)
|
||||
|
@ -120,8 +128,7 @@ Subdeterminant (minor) vzniklý z matice vynecháním $i$-tého řádku a $j$-t
|
|||
### Věty
|
||||
|
||||
Nechť matice B vznikne z matice A prohozením dvou řádků (sloupců). Potom $\det(B) = -\det(A)$.
|
||||
- **DK**: Prohozením dvou řádků (sloupců) se změní počet transpozic v každé permutaci o 1, tedy znaménka se změní v opačná.
|
||||
- z definice determinantu pak plyne, že determinant vyjde opačný k $det(A)$
|
||||
- **DK**: Prohozením dvou řádků (sloupců) se změní počet transpozic v každé permutaci o 1, tedy znaménka se změní v opačná. Z definice determinantu pak plyne, že determinant vyjde opačný k $\det(A)$.
|
||||
|
||||
Má-li matice A **dva stejné řádky** nebo **sloupce**, potom $\det(A) = 0$.
|
||||
- **DK**: Matice B vznikne z matice A prohozením dvou stejných řádků (sloupců).
|
||||
|
|
Loading…
Reference in a new issue