From 03e89c2033ab335a1800845e7f9ef302570db8ee Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Filip Znachor Date: Thu, 12 Jan 2023 15:38:34 +0100 Subject: [PATCH] =?UTF-8?q?=C3=9Apravy=20pozn=C3=A1mek=20k=20determinant?= =?UTF-8?q?=C5=AFm=20v=20LAA?= MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=UTF-8 Content-Transfer-Encoding: 8bit --- KMA LAA/4. Determinant matice.md | 49 ++++++++++++++++++-------------- 1 file changed, 28 insertions(+), 21 deletions(-) diff --git a/KMA LAA/4. Determinant matice.md b/KMA LAA/4. Determinant matice.md index a922ac1..e1908c4 100644 --- a/KMA LAA/4. Determinant matice.md +++ b/KMA LAA/4. Determinant matice.md @@ -66,14 +66,16 @@ J_{2} & \mathbf{2} & 4 & 3 & \mathbf{1} & 5 \end{matrix} $$ +### Znaménko permutace $\pi$ + Permutace je **sudá nebo lichá** podle sudého nebo lichého počtu transpozic. -- **Znaménko permutace** $\pi$ je pak číslo - - $$ - zn(\pi) = \begin{cases}1, \text{je-li } \pi \text{ sudá} \\ -1, \text{je-li } \pi \text{ lichá}\end{cases} - $$ -- Znaménko permutace vzniklé složením dvou permutací se rovná součinu znamének každé permutace. - - $zn(\pi_1 \circ \pi_{2}) = zn(\pi_{1}) \cdot zn(\pi_{2})$ + +$$ +zn(\pi) = \begin{cases}1, \text{je-li } \pi \text{ sudá} \\ -1, \text{je-li } \pi \text{ lichá}\end{cases} +$$ + +Znaménko permutace vzniklé složením dvou permutací se rovná součinu znamének každé permutace. +- $zn(\pi_1 \circ \pi_{2}) = zn(\pi_{1}) \cdot zn(\pi_{2})$ ## Determinant @@ -85,23 +87,29 @@ kde sčítáme přes všechny permutace na množině $\{1, 2, \dots, n\}$. - determinant je suma všech permutací vzniklých z diagonálního řádku matice, kde sudá permutace je s kladným znaménkem a lichá se záporným - v součinu prvků v definici determinantu je z každého řádku a z každého sloupce vybrán právě jeden prvek -- $det(A) = det(A^{T})$ +- $\det(A) = \det(A^{T})$ ### Algebraický doplněk matice Subdeterminant (minor) vzniklý z matice vynecháním $i$-tého řádku a $j$-tého sloupce. - $(-1)^{i+j} \det A[\cancel{i/j}]$ -### Rozvoj podle i-tého řádku +Symbolem $A[\cancel{i/j}]$ značíme matice A s vynechaným $i$-tým řádkem a $j$-tým sloupcem. -- A je čtvercová matice řádu $n$ -- $i \in {\{ 1, 2, ..., n \}}$ -- $det(A) = a_{i1}A_{i1}+a_{i2}A_{i2} + ... + a_{in}A_{in} = \sum_{j=1}^{n}a_{ij}A_{ij}$ -- elementární úpravy: - - prohození dvou řádků matice - - vynásobení (vydělení) řádku matice nenulovým číslem - - přičtení $k$-násobku $i$-tého řádku k $j$-tému -- pro determinanty můžeme využívat analogicky i sloupcové elementární úpravy +### Rozvoj podle i-tého řádku (sloupce) + +Nechť A je čtvercová matice řádu $n$ a $i \in {\{ 1, 2, \dots, n \}}$. + +$\displaystyle \det(A) = a_{i1}A_{i1}+a_{i2}A_{i2} + \dots + a_{in}A_{in} = \sum_{j=1}^{n}a_{ij}A_{ij}$ + +**Elementární úpravy**: +- prohození dvou řádků matice +- vynásobení (vydělení) řádku matice nenulovým číslem +- přičtení $k$-násobku $i$-tého řádku k $j$-tému + +Pro determinanty můžeme využívat analogicky i sloupcové elementární úpravy, protože $\det(A) = \det(A^T)$. + +Rozvojem se řeší všechny determinanty řádu $\geq 4$. ### Vlastnosti determinantu @@ -109,8 +117,8 @@ Subdeterminant (minor) vzniklý z matice vynecháním $i$-tého řádku a $j$-t 2. Výměna řádků otočí znaménko 3. Vynásobení řádku číslem $a$ znamená $a \cdot \det \dots$ 4. $\displaystyle\begin{bmatrix}a+a' & b+b' \\ c & d\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}a & b \\ c & d\end{bmatrix} + \begin{bmatrix}a' & b' \\ c & d\end{bmatrix}$ -5. Dva stejné řádky $\implies \det A = 0$ -6. Řádek samých nul $\implies \det A = 0$ +5. Dva stejné řádky/sloupce $\implies \det A = 0$ +6. Řádek/sloupec samých nul $\implies \det A = 0$ 7. Přičtení $a$-násobku jiného řádku $\implies \det A$ je stejný 8. Trojúhelníková matice $\implies \det A$ je součin prvků na diagonále 9. Singulární matice $\implies \det A = 0$ (nesingulární $\implies \det A \neq 0$) @@ -120,8 +128,7 @@ Subdeterminant (minor) vzniklý z matice vynecháním $i$-tého řádku a $j$-t ### Věty Nechť matice B vznikne z matice A prohozením dvou řádků (sloupců). Potom $\det(B) = -\det(A)$. -- **DK**: Prohozením dvou řádků (sloupců) se změní počet transpozic v každé permutaci o 1, tedy znaménka se změní v opačná. -- z definice determinantu pak plyne, že determinant vyjde opačný k $det(A)$ +- **DK**: Prohozením dvou řádků (sloupců) se změní počet transpozic v každé permutaci o 1, tedy znaménka se změní v opačná. Z definice determinantu pak plyne, že determinant vyjde opačný k $\det(A)$. Má-li matice A **dva stejné řádky** nebo **sloupce**, potom $\det(A) = 0$. - **DK**: Matice B vznikne z matice A prohozením dvou stejných řádků (sloupců).