FAV-ZCU/KMA LAA/4. Determinant matice.md

# Determinant matice
## Determinant
- **Determinantem** čtvercové matice A = $[a_{ij}]$ řádu n je číslo: det(A) = $ \sum_{\pi}^{} zn(\pi)a_{1\pi(1)}a_{2\pi(2)}...a_{n\pi(n)} $
- kde sčítáme přes všechny permutace na množině {1, 2, ..., n}
- determinant je suma všech permutací vzniklých z diagonálního řádku matice, kde sudá permutace je s kladným znaménkem a lichá se záporným
- v součinu prvků v definici determinantu je z každého řádku a z každého sloupce vybrán právě jeden prvek
- algebraický doplňek prvku $ (-1)^{i+j} det A[\cancel{i/j}] $ subdeterminant (minor) vzniklý z matice vynecháním i-tého řádku a j-tého sloupce.
- $ det(A) = det(A^{T}) $

### Rozvoj podle i-tého řádku
- A je čtvercová matice řádu n
- $ i = \in {\{ 1, 2, ..., n  \}} $
- $ det(A) = a_{i1}A_{i1}+a_{i2}A_{i2} + ... + a_{in}A_{in} = \sum_{j=1}^{n}a_{ij}A_{ij} $