2022-12-03 12:47:17 +01:00
|
|
|
# Matice
|
|
|
|
|
|
|
|
Maticí **typu m/n** nazveme soubor (tabulku) m x n prvků (čísel) $a_{ij}$ zapsaných do **m řádků** a **n sloupců**.
|
|
|
|
|
|
|
|
| značení | význam |
|
|
|
|
| ---------- | -------------------------- |
|
2022-12-30 19:20:59 +01:00
|
|
|
| $(i, j)$ | pozice v matici |
|
|
|
|
| $a_{ij}$ | prvek na pozici $(i, j)$ |
|
2022-12-03 12:47:17 +01:00
|
|
|
| $i$ | řádkový index |
|
|
|
|
| $a_{kk}$ | diagonální prvek matice |
|
|
|
|
| $m/n$ | typ matice: $m$ řádků, $n$ sloupců |
|
|
|
|
|
2022-12-30 14:57:31 +01:00
|
|
|
## Názvy matic
|
2022-12-03 12:47:17 +01:00
|
|
|
|
2022-12-30 14:57:31 +01:00
|
|
|
### Tvarové
|
2022-12-03 12:47:17 +01:00
|
|
|
- **Čtvercová matice**
|
|
|
|
- mají stejný počet řádků a sloupců
|
|
|
|
- **Obdélníková matice**
|
|
|
|
- rozdílný počet řádků a sloupců
|
|
|
|
- **$m$-složkový sloupcový vektor**
|
2022-12-30 14:57:31 +01:00
|
|
|
- matice typu $m/1$ (jeden sloupec)
|
2022-12-03 12:47:17 +01:00
|
|
|
- **$n$-složkový řádkový vektor**
|
2022-12-30 14:57:31 +01:00
|
|
|
- matice typu $1/n$ (jeden řádek)
|
2022-12-03 12:47:17 +01:00
|
|
|
|
2022-12-30 14:57:31 +01:00
|
|
|
### Další
|
2022-12-03 12:47:17 +01:00
|
|
|
- **Nulová matice**
|
2022-12-31 11:50:24 +01:00
|
|
|
- matice typu $m/n$ plná nul, značíme 0
|
|
|
|
- $A_{ij} = 0$
|
2022-12-30 14:57:31 +01:00
|
|
|
$$\begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$$
|
2022-12-03 12:47:17 +01:00
|
|
|
- **Diagonální matice**
|
2022-12-31 11:50:24 +01:00
|
|
|
- čtvercová matice s nenulovými čísly pouze na hlavní diagonále
|
|
|
|
- pro $i \neq j : A_{ij} = 0$
|
2022-12-30 14:57:31 +01:00
|
|
|
$$diag\{1, -3, 0\} = A = \begin{bmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & -3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$$
|
2022-12-03 12:47:17 +01:00
|
|
|
- **Jednotková matice**
|
2022-12-31 11:50:24 +01:00
|
|
|
- diagonální matice s 1 na hlavní diagonále
|
|
|
|
- pro $i \neq j : a_{ij} = 0, a_{ii} = 1$
|
2022-12-30 14:57:31 +01:00
|
|
|
$$I = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$$
|
2022-12-03 12:47:17 +01:00
|
|
|
- **Symetrická matice**
|
|
|
|
- čtvercová matice, kde se $a_{ij}$ rovná $a_{ji}$
|
2022-12-31 11:50:24 +01:00
|
|
|
- $\forall i, j : a_{ij} = a_{ji}$
|
2022-12-30 14:57:31 +01:00
|
|
|
$$A_{1} = \begin{bmatrix} 1 & \underline{2} & \underline{1} \\ \underline{2} & 1 & \underline{0} \\ \underline{1} & \underline{0} & 3 \end{bmatrix}$$
|
2022-12-03 12:47:17 +01:00
|
|
|
- **Antisymetrická matice**
|
2022-12-31 11:50:24 +01:00
|
|
|
- čtvercová matice, kde se $a_{ij}$ rovná $-a_{ji}$
|
|
|
|
- na hlavní diagonále musí mít nuly, protože $0 = -0$
|
|
|
|
- $\forall i, j : a_{ij} = -a_{ji}$
|
2022-12-30 14:57:31 +01:00
|
|
|
$$A_{2} = \begin{bmatrix} 0 & \underline{2} & \underline{-1} \\ \underline{-2} & 0 & \underline{3} \\ \underline{1} & \underline{-3} & 0 \end{bmatrix}$$
|
2022-12-03 12:47:17 +01:00
|
|
|
- **Poznámka**: V antisymetrické matici jsou všechny prvky $a_{ii} = 0$
|
2022-12-29 11:40:16 +01:00
|
|
|
- **Horní a dolní trojúhelníková matice**
|
2022-12-31 11:50:24 +01:00
|
|
|
- Pro H platí pro všechna $i > j$, že $a_{ij} = 0$
|
|
|
|
- Pro D platí pro všechna $i < j$, že $a_{ij} = 0$
|
2022-12-30 14:57:31 +01:00
|
|
|
$$H = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \end{bmatrix} \quad D = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 2 & 2 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{bmatrix}$$
|
2022-12-03 12:47:17 +01:00
|
|
|
|
|
|
|
### Operace
|
|
|
|
|
|
|
|
- **Rovnost**
|
|
|
|
- $A = B$ pokud všechny $a_{ij} = b_{ij}$
|
|
|
|
- **Opačná matice**
|
|
|
|
- matice $[-a_{ij}]$ značená $-A$ je opačná matice k matici $A$
|
|
|
|
- **Transponovaná matice**
|
|
|
|
- matice $a_{ji}$ typu $n/m$ značená $A^T$ je transponovaná k matici $a_{ij}$ typu $m/n$ značené $A$
|
2022-12-30 14:57:31 +01:00
|
|
|
$$A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{bmatrix} \ \ \ A^T = \begin{bmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 5 \\ 3 & 6 \end{bmatrix}$$
|
2022-12-03 12:47:17 +01:00
|
|
|
- z toho plyne:
|
|
|
|
- $A$ je symetrická, právě když $A = A^T$
|
|
|
|
- $A$ je antisymetrická, právě když $A = -A^T$
|
|
|
|
- $(A^T)^T = A$
|
|
|
|
- **Sčítání a odčítání**
|
|
|
|
- sčítáme/odčítáme prvky na stejných pozicí
|
|
|
|
- **Násobení konstantou**
|
|
|
|
- vynásobíme všechny členy konstantou
|
|
|
|
- **Násobení dvou matic**
|
|
|
|
- nekomutativní
|
2023-01-02 21:35:12 +01:00
|
|
|
- pouze když násobíme matici $A_{m/\underline{n}}$ maticí $B_{\underline{n}/p}$
|
|
|
|
- výsledná matice bude $C_{m/p}$
|
2023-01-02 14:30:42 +01:00
|
|
|
|
|
|
|
### Pivot
|
|
|
|
|
|
|
|
**Pivotem** v řádku $i$ je první nenulové číslo v tomto řádku zleva.
|
2023-01-15 10:40:10 +01:00
|
|
|
|
|
|
|
#### Matice ve stupňovitém tvaru
|
|
|
|
|
|
|
|
Matice **A**, kde pro každý řádek platí:
|
|
|
|
1. Je-li v $i$-tém řádku pivot na pozici $j$, ve všech dalších řádcích je na pozici $j' > j$.
|
|
|
|
2. Je-li řádek nulový, každý další je také nulový.
|