2.3 KiB
2.3 KiB
Lineární vektorové prostory
- neprázdnou množinu V nazveme lineární vekotorový prostor nad tělesem
\mathbb{T}
(nad\mathbb{C}
nebo nad\mathbb{R}
)- těleso je množina s operacemi "$+$" a "$*$" splňující distributivitu
Příklady:
zápis | typ |
---|---|
R^2, R^3 |
geometrické vektory o 2, resp. 3 složkách |
R^n |
n-tice reálných čísel (aritmetické vektory) |
M_{m,n} |
všechny matice typu m/n (nad R , nad C ) |
P_n |
všechny polynomy stupně nejvýše n |
C(a,b) |
všechny funkce spojité na <a, b> |
základní vlastnosti v L. V. P.
- Nechť V je L. V. P. nad
\mathbb R
- nulový prvek je určen jednoznačně
- je-li
x + y = x + z => y = z
- je-li
x + y = z => x = z + (-y)
\forall x \in V
je opačný prvek-x
určen jednoznačně\forall x \in V
a\forall k \in \mathbb R
je0x = k0 = 0
\forall x \in V
je-1x = -x
- je-li
kx = 0 => k = 0
nebox = 0
Lineární závislost a nezávislost
-
Nechť V je
L. V. P.
av_1, v_2, ..., v_n
jsou prvky prostoru V -
Nechť
\lambda_1, \lambda_2, ..., \lambda_n
jsou reálná čísla (prvky\mathbb T
) -
prvek
\lambda_1 v_1 + \lambda_2 v_2 + ... + \lambda_n v_n
se nazvývá lineární kombinací -
prvky
v_1, v_2, ..., v_n
jsou linárně nezávislé pokud LK= 0
-
prvky
v_1, v_2, ..., v_n
jsou linárně závislé pokud LK\neq 0
-
prázdná množina prvků je vždy LN
Podprostor
Máme lineární vektorový prostor V
a jeho podprostor U \subset V
, jestliže
- pro každé
\vec{u}, \vec{v} \in U
je\vec{u} + \vec{v} \in U
- pro každé
\vec{u} \in U
a pro každéa \in K
jea \cdot \vec{u} \in U
- vyplývá, že v podprostoru
U
bude vždy i nulový vektor (a = 0
)
- vyplývá, že v podprostoru
Každý podprostor vektorového prostoru je také vektorovým prostorem.
Operace s podprostory
- Sjednocení
u_{1} \cup u_{2}
- Musí platit:
u_{1} \subseteq u_{2}
u_{2} \subseteq u_{1}
- Musí platit:
Generující množina
Množina M = \{\vec{v_{1}}, \vec{v_{2}}, \dots, \vec{v_{k}}\} \subseteq V
generuje lineární vektorový prostor, jestliže se lineární kombinace všech prvků M rovná prostoru V, tedy \langle M \rangle = V
.