1.9 KiB
Podobnost matic, jejich vlastnosti, Jordanův kanonický tvar matice
Podobnost matic, jejich vlastnosti
Matice A
a B
jsou podobné, jestli existuje matice T
taková, aby platilo A = T^{-1}BT
.
-
pokud je A podobná B, je zároveň B podobná A, platí tedy i:
TA = BT
TAT^{-1} = B
-
každá matice je podobná sama sobě (
T
by byla jednotková maticeI
) -
matice
A
řádun
je podobná diagonální matici, právě kdyžA
má lin. nezávislou množinun
vlastních vektorů -
Pokud jsou matice A a B podobné, mají stejné charakteristické polynomy i spektra.
-
Matice A, B jsou podobné právě tehdy, když jsou maticemi téhož lineárního operátoru (v různých bázích)
Diagonalizace
Matice NxN je diagonalizovatelná právě když
- má N lineárně nezávislých vlastních vektorů
- má různá vlastní čísla
- je symetrická nebo jednotková
K diagonalizaci matice A stačí najít množinu n lineárně nezávislých vlastních vektorů, tedy vlastní čísla mohou být i vícenásobná. Pro k-násobné vl. číslo musí platit, že dim(Ker(\mathbb{L})) = k
.
Na diagonále diagonální matice jsou vlastní čísla ve stejném pořadí, jako vlastní vektory v matici
Nediagonalizovatelné matice
Taková matice je potom podobná tzv. blokově diagonální matici, nazývané Jordanův diagonální tvar. Skládá se z jednotlivých bloků, které se nazývají Jordanovy bloky.
Jordanův blok vypadá takto: \begin{bmatrix}\lambda & 1 & 0\\0 & \lambda & 1\\0 & 0 & \lambda\end{bmatrix}
- na diagonále má vlastní čísla, nad ní čísla 1
- každý blok odpovídá nějakému vl. číslu
Jordanův kanonický tvar matice
- skládá se z Jordanových bloků
- každý blok odpovídá nějakému vl. číslu
- jednomu vlastnímu číslu může odpovídat jeden i více bloků
- rozměry J. bloku mohou být i 1x1