3.2 KiB
Relace
Mějme dvě množiny X, Y
a představme si, že každý prvek x \in X
může (a nemusí) být ve vztahu R
s libovolným počtem prvků y \in Y
. Na tento vztah nejsou kladeny žádné další podmínky.
- tento vztah lze popsat jako výčet všech dvojic
(x, y)
prvků, které spolu jsou ve vztahuR
Definice
Jelikož je kartézský součin definován jako množina všech uspořádaných dvojic s prvním prvkem z množiny X
a druhým z množiny Y
, definujeme relaci takto:
Relace z množiny X
do množiny Y
je libovolná podmnožina R
kartézského součinu X \times Y
.
Jedná se o relaci binární, jelikož určuje vztah mezi dvěma prvky.
- definici můžeme zobecnit na n-ární relace (vztahy mezi n-ticemi prvků)
Obory
- levý:
L(R) = \{ x \in X: \text{existuje nějaké } y \in Y \text{ tak, že } x \, R \, y \}
- všechny prvky
X
, které jsou v relaci s nějakým prvkemY
- všechny prvky
- pravý:
P(R) = \{ y \in Y: \text{existuje nějaké } x \in X \text{ tak, že } x \, R \, y \}
- všechny prvky
Y
, které jsou v relaci s nějakým prvkemX
- všechny prvky
Znázornění relací
- pomocí grafu
- množina
X
vlevo, množinaY
vpravo - dva body jsou spojeny čarou, pokud jsou prvky v relaci R
- množina
- pomocí kartézského součinu
- matice
X \times Y
, kde na horizontální ose jsou prvkyX
a na vertikální oseY
- body jsou vybarveny pouze na místech matice, kde jsou prvky v relaci R
- matice
Skládání relací
Definice
- Nechť
R
je relace z množinyX
do množinyY
aS
je relace z množinyY
do množinyZ
. Pak složení relacíR
aS
je relaceR \circ S \subset X \times Z
z množinyX
do množinyZ
, definováno takto (x, z) \in R \circ S
, právě když existujey \in Y
tak, žex \, R \, y
ay \, S \, z
,- kde
x \in X
az \in Z
.
Skládání relací je možné pouze, pokud relace R
končí ve množině, kde S
začíná.
Věta o asociativitě skládání relací
- Nechť
R \subset X \times Y, S \subset Y \times Z
aT \subset Z \times W
jsou relace. PotomR \circ (S \circ T) = (R \circ S) \circ T
.
Inverzní relace
Definice
- Relace inverzní k relaci
R \subset X \times Y
je relaceR^{-1} \subset Y \times X
, definovaná vztahem y \, R^{-1} \, x
právě kdyžx \, R \, y
prox \in X, y \in Y
.
Zobrazení, funkce
Zobrazení (nebo také funkce) množiny X
do množiny Y
je relace f \subset X \times Y
, pro kterou platí, že pro každý prvek x \in X
existuje právě jeden prvek y \in Y
tak, že (x, y) \in f
. Skutečnost, že f
je zobrazením X
do Y
, zapisujeme jako f: X \to Y
.
Druhy zobrazení
Zobrazení f: X \to Y
je
- prosté (injekce), pokud každé
y \in Y
má nejvýše jeden vzor při zobrazeníf
, - na (surjekce), pokud každé
y \in Y
má alespoň jeden vzor při zobrazeníf
, - vzájemně jednoznačné (bijekce), pokud je prosté a na, tedy
- každé
y \in Y
má právě jeden vzor při zobrazeníf
.
- každé
Skládání zobrazení
Máme zobrazení f : X \to Y, g : Y \to Z
, výsledná relace f \circ g
je zobrazení X
do Z
, pro jehož hodnoty platí (f \circ g)(x) = g(f(x))
.