2.1 KiB
2.1 KiB
Vlastní čísla, vlastní vektory, zobecněné vlastní vektory matice
Vlastní čísla
A
- matice A\vec{u}
- vlastní vektor matice A\lambda
- vlastní číslo matice A
A \cdot \vec{u} = \lambda \cdot \vec{u}
\vec{u} \in U \smallsetminus \{\vec{o}\}
(u nulového vektoru by to platilo vždy)- úpravou získáme
(\lambda I-A) \cdot \vec{u} = \vec{o}
Vlastní čísla
Získání:
- Vypočítáme determinant matice
\det{(\lambda I - A)}
-> výsledkem je charakteristický polynom - V průběhu si zkusíme vytknout něco s lambdou, např.
(\lambda-5)
- Získáme kořeny polynomu (vlastní čísla) a výsledek zapíšeme ve tvaru
(\lambda-5)(\lambda+2)^2
(\lambda_{1} = 5, \lambda_{2,3} = -2)
Při změně báze se vlastní čísla ani vlastní vektory nemění. Vektory jsou sice stejné, ale v jiné bázi.
Spektrum matice
- soubor všech vlastních čísel
- značí se
Sp(A)
- např.:
Sp(A) = \{3^2; -1\}
- např.:
vlastní vektory
- bázové prvky jádra lineárního zobrazení s maticí
A - \lambda I
pro konkrétní vlastní číslo
Získání:
- Dosadíme vlastní číslo za lambdu
- Vypočítáme GJEM z matice s dosazenou lambdou
- Pomocí
n-hod(\lambda I-A)
zjistíme počet dosazovaných LN vektorů - Do vlastního vektoru odzadu dosadíme LN vektory (pokud jen 1, dosadíme nenulové číslo)
- běžně např.
(x, 1, 0)
a(x, 0, 1)
- běžně např.
- Dopočítáme pomocí rovnic v matici zbytek souřadnic
např.:
h_{1} = [2, -1, 1]^T
Vlastním vektorem h_{1} = [2, -1, 1]
se myslí t\cdot [2, -1, 1], t\in R
zobecněné vlastní vektory matice
- Pokud nám chybí některé
h_{i}
(máme vícenásobné vl. číslo alen-hod(\lambda I-A)
vyjde menší), je možnéh_3
dopočítat opakováním postupu pro(\lambda I-A) = -h_{2}
, kde-h2
bude v pravém sloupci. - nechť A je čtvercová matice řádu n
- nechť
\lambda
je vlastní číslo maticeA
- uspořádaná k-tice vektorů
\vec u_1, \vec u_2, ... , \vec u_k
se nazývá řetězec zobecněných vlastních vektorů pokud:(\lambda I - A)u_k = u_{k-1}