2.3 KiB
Incidenční matice
Pro neorientovaný graf
Definice: Nechť G
je neorientovaný graf s vrcholy V = \{v_{1}, \dots, v_{n}\}
a hranami E = \{e_{1}, \dots, e_{m}\}
. Matice M(G)
typu n/m
definovaná předpisem
m_{i,j} = \begin{cases} 1, & \text{jestliže } v_{i} \in e_{j}, \\ 0 & \text{jinak} \end{cases}
se nazývá vrcholově-hranová incidenční matice grafu G
.
Poznámka: S incidenční maticí neorientovaného grafu je potřeba pracovat nad tělesem \mathbb{Z}_{2}
.
Pro orientovaný graf
Definice: Nechť \vec{G}
je orientovaný graf s vrcholy V = \{v_{1}, \dots, v_{n}\}
a hranami E = \{e_{1}, \dots, e_{m}\}
. Předpokládáme, že graf \vec{G}
neobsahuje smyčky (hrany x, x
). Matice M(\vec{G})
typu n/m
definovaná předpisem
m_{i,j} = \begin{cases} 1 & \text{pokud hrana } e_{j} \text{ začíná ve vrcholu } v_{i}\\-1 & \text{pokud hrana } e_{j} \text{ končí ve vrcholu } v_{i}\\0 & \text{jinak (} e_{j} \text{ nekoliduje s } v_{i}\text{)} \end{cases}
se nazývá vrcholově-hranová incidenční matice orientovaného grafu \vec{G}
.
- i-tý řádek je i-tý vrchol a j-tý sloupec určuje začátek (
+1
) nebo konec (-1
) j-té hrany v i-tém vrcholu
Vlastnosti
Tvrzení: Množina l
řádků matice M(\vec{G}), l \leq n
, je lineárně závislá právě tehdy, když existuje její neprázdná podmnožina mající nulový součet.
Věta: Je-li \vec{G}
slabě souvislý graf bez smyček, pak \text{hod}(M(\vec{G})) = n-1
.
- V každém sloupci matice
M(\vec{G})
je právě jeden prvek +1 a jeden prvek -1\implies
součtem všech řádků maticeM(\vec{G})
dostaneme nulový řádek. - Tedy řádky jsou LZ a
\text{hod}(M(\vec{G})) < n
.
Důsledek: Je-li graf \vec{G}
bez smyček s k
komponentami (v jeho symetrizaci), potom \text{hod}(M(\vec{G})) = n-k
.
Redukovaná incidenční matice
Matici M_{R}(\vec{G})
vzniklou z matice M(\vec{G})
vypuštěním posledního řádku se nazývá redukovaná incidenční matice orientovaného grafu \vec{G}
.
Totální unimodularita
Definice: Matice A
je totálně unimodulární, pokud determinant libovolné čtvercové podmatice je 0, +1, -1
, tedy matice A
má pouze prvky 0, \pm1
.
Věta: Incidenční matice M(\vec{G})
orientovaného grafu \vec{G}
je totálně unimodulární.