1.6 KiB
1.6 KiB
Hodnost matice, Gaussova eliminační metoda, určení hodnosti pomocí determinantů
Hodnost matice
- Hodnost matice je maximální počet lineárně nezávislých řádků/sloupců v matici.
- Pro každou matici A platí, že
- řádková hodnost je rovna té sloupcové, takže
hod^r(A) = hod^s(A)
; - hodnost transponované matice je rovna hodnosti původní matice, takže
hod(A) = hod(A^T)
.
- řádková hodnost je rovna té sloupcové, takže
Řádkový a sloupcový prostor matice
U matice A typu m/n
je
- lineární obal všech řádkových vektorů (řádků) nazýván řádkovým prostorem matice A;
- lineární obal všech sloupcových vektorů (sloupců) nazýván sloupcovým prostorem matice A.
Dimenzi řádkového nebo sloupcového prostoru nazveme řádkovou (sloupcovou) hodností matice A a značíme ji hod^r(A)
resp. hod^s(A)
.
Vlastnosti
- Nechť
A
aB
jsou matice aC
=A * B
=>hod(C) \leq min\{hod(A), hod(B)\}
- Nechť
B
je regulární matice aA
je libovolná matice =>hod(A*B)
nebohod(B*A) = hod(A)
Gaussova eliminační metoda
- algortimus pro převedení matice na stupňovitý tvar
Určení hodnosti pomocí determinantů
- determinant trojúhelníkové matice je roven součinu prvků na hlavní diagonále
- determinant libovolné čtvercové podmatice řádu
m
se nazývá minorem řádum
maticeA
- nechť
A
je maticehod(A) = m
právě tehdy, když vA \ \exist
nenulový minor řádu m a zároveň každý minor řádu většího nežm
je nulový
- Hodnost matice
A
je rovna rozměru největšího nenulového subdeterminantu