2.1 KiB
Ortogonální a ortonormální báze prostoru, Gramův-Schmidtův ortogonalizační proces
Ortogonální a ortonormální báze prostoru
Ortogonální báze prostoru
-
Dva prvky
\vec{x}, \vec{y}
Eukleidovského prostoruU
jsou ortogonální (kolmé), jestliže(\vec{x}, \vec{y}) = 0
. -
Píšeme
\vec{x} \perp \vec{y}
. -
Množiny
X, Y, \subset U
jsou ortiginální, jestliže\vec{x} \perp \vec{y}
pro každé\vec{x} \in X
a\vec{y} \in Y
. -
Každá podmnožina Eukleidovského prostoru, jejíž prvky jsou nenulové a navzájem ortogonální, je LN.
-
Žádný ze vzájemně kolmých vektorů není možné vyjádřit jako LK ostatních.
Ortonormální báze prostoru
- prvky báze jsou ortogonální a zároveň normované, tedy vzájemně různé prvky báze jsou na sebe kolmé a všechny prvky báze jsou jednotkové
Gramův-Schmidtův ortogonalizační proces
- určení ortogonální báze ze zadané báze
-
Mějme v
U
bázi\vec{b}_{1}, \vec{b}_{2}, \dots, \vec{b}_{n};
hledáme ortogonální bázi\vec{g}_{1}, \vec{g}_{2}, \dots, \vec{g}_{n}
. -
Položíme
\vec{g}_{1} = \vec{b}_{1}
. -
Určíme
\displaystyle \vec{g}_{2} = \vec{b}_{2} - \frac{\vec{b}_{2}, \vec{g}_{1}}{(\vec{g}_{1}, \vec{g}_{1})} \vec{g}_{1}
, což je ortogonální (kolmý) průmět vektoru\vec{b}_{2}
do přímky dané vektorem\vec{g}_{1}
. Platí, že\vec{g}_{2} \perp \vec{g}_{1}
. -
Obecně hledáme
\vec{g}_{k}
jako\vec{b}_{k} - \overline{\vec{b}_{k}}
, kde\overline{\vec{b}_{k}}
je ortogonální průmět prvku\vec{b}_{k}
do podprostoru s ortogonální bází\vec{g}_{1}, \vec{g}_{2}, \dots, \vec{g}_{k-1}
. Tedy: $$ \displaystyle \vec{g}{k} = \vec{b}{k} - \biggl( \frac{(\vec{b}{k}, \vec{g}{1})}{(\vec{g}{1}, \vec{g}{1})} \vec{g}{1} + \frac{(\vec{b}{k}, \vec{g}{2})}{(\vec{g}{2}, \vec{g}{2})} \vec{g}{2} + \dots + \frac{(\vec{b}{k}, \vec{g}{k-1})}{(\vec{g}{k-1}, \vec{g}{k-1})} \vec{g}_{k-1} \biggr). -
Pak jistě
\vec{g}_{k} \perp \vec{g}_{1}, \vec{g}_{k} \perp \vec{g}_{2}, \dots, \vec{g}_{k} \perp \vec{g}_{k-1}
.