Doplnění definice Taylorova polynomu v M1
This commit is contained in:
parent
27e416a2f3
commit
f3d03bef7f
1 changed files with 28 additions and 2 deletions
|
@ -2,7 +2,32 @@
|
|||
|
||||
Nahrazení nějaké složité funkce $(\sin, \cos, \ln)$ za jinou polynomickou funkci n-tého stupně, která na konkrétním okolí zjišťovaného bodu dostatečně aproximuje tu původní.
|
||||
|
||||
Chci zjistit hodnotu $\sin(29°)$
|
||||
Mějme funkci $f$, kterou chceme aproximovat v bodě $x_{0}$. Po Taylorovu polynomu budeme požadovat, aby platila rovnost funkčních hodnot a také každé derivace až do stupně $n$.
|
||||
- $T_{n}(x_{0}) = f(x_{0})$
|
||||
- $T_{n}^{(n)}(x_{0}) = f^{(n)}(x_{0})$
|
||||
|
||||
Taylorův polynom tedy bude vypadat následovně.
|
||||
- $T_{n}(x) = a_{0} + a_{1}(x-x_{0}) + a_{2}(x-x_{0})^2 + \dots + a_{n}(x-x_{0})^n$
|
||||
|
||||
Platí tedy:
|
||||
$$\begin{matrix}
|
||||
f(x_{0}) = T_{n}(x_{0}) = a_{0} \\
|
||||
f'(x_{0}) = T_{n}'(x_{0}) = a_{1} \\
|
||||
f''(x_{0}) = T_{n}''(x_{0}) = 2a_{2} \\
|
||||
\vdots \\
|
||||
f^{(n)}(x_{0}) = T_{n}^{(n)}(x_{0}) = n! \, a_{n}
|
||||
\end{matrix}$$
|
||||
|
||||
### Definice Taylorova polynomu
|
||||
|
||||
Mějme funkci $f : D \to \mathbb{R}$, bod $x_{0} \in D$, ve kterém má funkce $f$ konečné derivace až do řádu $n \in \mathbb{N}$ včetně. **Taylorův polynom** (nejvýše) $n$-tého stupně funkce $f$ v bodě $x_{0}$ je polynom
|
||||
$$
|
||||
T_{n}(x) = f(x_{0}) + f'(x_{0})(x-x_{0}) + \dots + \frac{f^{(n)}(x_{0})}{n!}(x-x_{0})^n.
|
||||
$$
|
||||
|
||||
### Aproximace pomocí diferenciálů
|
||||
|
||||
Chci zjistit hodnotu $\sin(29°)$.
|
||||
- $\displaystyle f(x) = \sin(x) \qquad x_{0}+h = \frac{29\pi}{180}$.
|
||||
|
||||
Znám hodnotu $\sin(30°) = \frac{1}{2}$.
|
||||
|
@ -20,4 +45,5 @@ Vypustím chybu ($\tau$) a získám přibližnou rovnost.
|
|||
|
||||
Získám přibližný výsledek:
|
||||
- $\displaystyle f\left( \frac{29\pi}{180} \right) \approx f'\left( \frac{\pi}{6} \right) \cdot \left( -\frac{\pi}{180} \right) + f\left( \frac{\pi}{6} \right)$
|
||||
- $\displaystyle f\left( \frac{29\pi}{180} \right) \approx \frac{\sqrt{ 3 }}{2} \cdot \left( -\frac{\pi}{180} \right) + \frac{1}{2} = \frac{180-\sqrt{ 3 }\pi}{360}$
|
||||
- $\displaystyle f\left( \frac{29\pi}{180} \right) \approx \frac{\sqrt{ 3 }}{2} \cdot \left( -\frac{\pi}{180} \right) + \frac{1}{2} = \frac{180-\sqrt{ 3 }\pi}{360}$
|
||||
|
||||
|
|
Loading…
Reference in a new issue