Přidání 9., 10. a 12. otázky ke zkoušce z DMA
This commit is contained in:
parent
dbe2149704
commit
ec887112ad
4 changed files with 156 additions and 0 deletions
65
KMA DMA/Otázky ke zkoušce/09. Svazy.md
Normal file
65
KMA DMA/Otázky ke zkoušce/09. Svazy.md
Normal file
|
@ -0,0 +1,65 @@
|
||||||
|
# Svazy
|
||||||
|
|
||||||
|
Svaz je **uspořádaná množiny** $(X, \leq)$, ve které existuje **supremum** i **infimum** pro **libovolnou dvojici prvků**.
|
||||||
|
|
||||||
|
Pro libovolné dva prvky $a, b$ svazu $(X, \leq)$ platí
|
||||||
|
- $a \leq b$ právě když $a \vee b = b$ právě když $a \wedge b = a$.
|
||||||
|
|
||||||
|
## Princip duality
|
||||||
|
|
||||||
|
Když v libovolném pravdivém tvrzení prohodíme průsek a spojení (a uspořádání nahradíme inverzním), dostaneme opět pravdivé tvrzení.
|
||||||
|
|
||||||
|
## Operace
|
||||||
|
|
||||||
|
**Supremum**
|
||||||
|
- značíme $x \vee y$
|
||||||
|
- největší dolní závora obou prvků
|
||||||
|
- spojení (sjednocení) dvou množin
|
||||||
|
|
||||||
|
**Infimum**
|
||||||
|
- značíme $x \wedge y$
|
||||||
|
- nejmenší horní závora obou prvků
|
||||||
|
- průnik dvou množin
|
||||||
|
|
||||||
|
Mejmě svaz $X$ a $x, y, z \in X$. Potom platí:
|
||||||
|
|
||||||
|
| supremum | infimum | vlastnost |
|
||||||
|
| --------------------------------------- | ----------------------------------------------- | -------------- |
|
||||||
|
| $x \vee x = x$ | $x \wedge x = x$ | idempotentnost |
|
||||||
|
| $x \vee y = y \vee x$ | $x \wedge y = y \wedge x$ | komutativita |
|
||||||
|
| $x \vee (y \vee z) = (x \vee y) \vee z$ | $x \wedge (y \wedge z) = (x \wedge y) \wedge z$ | asociativita |
|
||||||
|
| $x \vee (y \wedge x) = x$ | $x \wedge (y \vee x) = x$ | absorbce |
|
||||||
|
|
||||||
|
## Distributivní svaz
|
||||||
|
|
||||||
|
**Definice**
|
||||||
|
- Řekneme, že svaz $(X, \leq)$ je distributivní, jestliže $\forall \, x, y, z \in X$ je $x \wedge (y \vee z) = (x \vee y) \wedge (x \vee z)$.
|
||||||
|
|
||||||
|
**Birkhoffovo kritérium distributivity**
|
||||||
|
- Svaz $(X, \leq)$ je distributivní právě když neobsahuje jako podsvaz $X_{1}$ ani $X_{2}$.
|
||||||
|
|
||||||
|
![[_assets/distributivni_svaz.png]]
|
||||||
|
|
||||||
|
## Podsvaz
|
||||||
|
|
||||||
|
Nechť $(X, \leq)$ je svaz a $Y \subset X$. Řekneme, že POSET $(Y, \leq)$ je podsvazem svazu $(X, \leq)$, jestliže operace spojení a průseku v $Y$ jsou zúženími operací spojení a průseku v $X$.
|
||||||
|
|
||||||
|
## Konečný svaz
|
||||||
|
|
||||||
|
Je-li $(X, \leq)$ konečný svaz (tj. $|X|$ je konečný), potom v $X$ existuje nejmenší i největší prvek.
|
||||||
|
- **největší prvek** značen jako **1**
|
||||||
|
- **nejmenší prvek** značen jako **0**
|
||||||
|
|
||||||
|
Jestliže ve svazu $X$ existují prvky 1 a 0, potom $\forall \, x \in X$ je $x \vee 0 = x$ a $x \wedge 1 = x$.
|
||||||
|
|
||||||
|
## Komplementární svaz
|
||||||
|
|
||||||
|
Nechť $(X, \leq)$ je svaz s prvky 0 a 1, nechť $x \in X$. Prvek $\overline x$, pro který platí $x \vee \overline x = 1$ a $x \wedge \overline x = 0$, se nazývá **doplněk** (**komplement**) prvku $x$. Svaz s prvky 0 a 1, v němž $\forall \, x \in X : \exists \, \overline x$, se nazývá **komplementární svaz**.
|
||||||
|
|
||||||
|
V **distributivním komplementárním svazu** má každý prvek **práve jeden doplněk**. Takový svaz nazveme Booleovou algebrou.
|
||||||
|
|
||||||
|
## De Morganovy zákony
|
||||||
|
|
||||||
|
Nechť $(X, \leq)$ je distributivní komplementární svaz, $x, y \in X$. Potom platí:
|
||||||
|
- $\overline{x \vee y} = \overline x \wedge \overline y$,
|
||||||
|
- $\overline{x \wedge y} = \overline x \vee \overline y$.
|
36
KMA DMA/Otázky ke zkoušce/10. Booleovy algebry.md
Normal file
36
KMA DMA/Otázky ke zkoušce/10. Booleovy algebry.md
Normal file
|
@ -0,0 +1,36 @@
|
||||||
|
# Booleova algebra
|
||||||
|
|
||||||
|
**Distributivní komplementární svaz** se nazývá **Booleův svaz** nebo **Booleova algebra**.
|
||||||
|
|
||||||
|
Operace spojení $\wedge$ se značí symbolem $+$, operace průsek symbolem $\cdot$.
|
||||||
|
|
||||||
|
## Booleovský kalkulus
|
||||||
|
|
||||||
|
Nechť $X$ je Booleova algebra, $a, b, c \in X$. Potom platí:
|
||||||
|
|
||||||
|
| | spojení | průsek | vlastnost |
|
||||||
|
| --- | ---------------------------------------------- | ----------------------------------------------- | ------------------- |
|
||||||
|
| S1 | $a+a=a$ | $a\cdot a=a$ | idempotentnost |
|
||||||
|
| S2 | $a+b=b+a$ | $a\cdot b=b\cdot a$ | komutativita |
|
||||||
|
| S3 | $a+(b+c)=(a+b)+c$ | $a\cdot (b\cdot c) = (a\cdot b)\cdot c$ | asociativita |
|
||||||
|
| S4 | $a+(a\cdot b) = a$ | $a\cdot(a+b)=a$ | absorbce |
|
||||||
|
| D | $a\cdot(b+c)=(a\cdot b)+(a\cdot c)$ | $a+(b\cdot c)=(a+b)\cdot(a+c)$ | distributivita |
|
||||||
|
| N1 | $a+0=a$ | $a\cdot1=a$ | neutrální prvky |
|
||||||
|
| N2 | $a+1=1$ | $a\cdot0=0$ | neutrální prvky |
|
||||||
|
| K1 | $\overline 0 = 1$ | $\overline 1 = 0$ | komplementy |
|
||||||
|
| K2 | $a + \overline a = 1$ | $a \cdot \overline a = 0$ | komplementarita |
|
||||||
|
| K3 | $\overline{(\overline a)} = a$ | | involutornost |
|
||||||
|
| K4 | $\overline{a+b}=\overline a \cdot \overline b$ | $\overline{a\cdot b}=\overline a + \overline b$ | De Morganovy zákony |
|
||||||
|
|
||||||
|
## Atom
|
||||||
|
|
||||||
|
Nechť $X$ je Booleova algebra. Nenulový prvek $a \in X$ takový, že pro každý prvek $x \in X, x\neq a$ platí $x \wedge a = 0$ nebo $x \wedge a = a$, se nazývá atom algebry $X$.
|
||||||
|
|
||||||
|
Atomy existují v každé Booleově algebře. Existovat nemusí pouze v nekonečných Booleových algebrách.
|
||||||
|
|
||||||
|
Nechť $X$ je Booleova algebra, $x \in X$. Potom existují prvky $y, z \in X$ takové, že $y\neq x, z\neq x,y \vee z = x$ právě tehdy, když $x$ není ani nulový prvek ani atom $X$.
|
||||||
|
|
||||||
|
Nechť $X$ je konečná Booleova algebra a $x \in X$ je libovolný nenulový prvek, potom platí, že
|
||||||
|
- $x = a_{1} \vee a_{2} \vee \dots \vee a_{k}$,
|
||||||
|
|
||||||
|
kde $a_{1}, \dots, a_{k}$ jsou všechny atomy $X$, pro které $a_{i} \leq x, i =1, \dots, k$.
|
55
KMA DMA/Otázky ke zkoušce/12. Booleovské funkce.md
Normal file
55
KMA DMA/Otázky ke zkoušce/12. Booleovské funkce.md
Normal file
|
@ -0,0 +1,55 @@
|
||||||
|
# Booleovské funkce
|
||||||
|
|
||||||
|
**Definice**
|
||||||
|
- Booleovská funkce n proměnných je libovolná funkce $f: B^n_{2} \to B_{2}$.
|
||||||
|
|
||||||
|
Může jí být například Booleovská funkce dvou proměnných $+$ nebo $\cdot$.
|
||||||
|
|
||||||
|
Množina $F_{n}$ všech booleovských funkcí n proměnných s uspořádáním $\leq$ daným předpisem $f \leq g$, pokud pro každé $x \in B^n_{2}$ platí $f(x) \leq g(x)$, je Booleova alebra.
|
||||||
|
|
||||||
|
Základní booleovské funkce je možné kombinovat do složitějších funkcí.
|
||||||
|
|
||||||
|
## Pravdivostní tabulky
|
||||||
|
|
||||||
|
Zapisují se do tabulky, kde je jeden řádek pro každou kombinaci hodnot proměnných.
|
||||||
|
|
||||||
|
| $x$ | $y$ | $x+y$ | $x\cdot y$ |
|
||||||
|
| --- | --- | ----- | ---------- |
|
||||||
|
| 0 | 0 | 0 | 0 |
|
||||||
|
| 0 | 1 | 1 | 0 |
|
||||||
|
| 1 | 0 | 1 | 0 |
|
||||||
|
| 1 | 1 | 1 | 1 |
|
||||||
|
|
||||||
|
| $x$ | $\overline x$ |
|
||||||
|
| --- | ------------- |
|
||||||
|
| 0 | 1 |
|
||||||
|
| 1 | 0 |
|
||||||
|
|
||||||
|
## Booleovské polynomy
|
||||||
|
|
||||||
|
**Booleův polynom** v proměnných $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}$ je každá Booleova funkce, v proměnných $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}$, která vznikne podle následujících pravidel:
|
||||||
|
1) konstanty 0 a 1, každá proměnná $x_{i}, (i=1,\dots,n)$ je Booleův polynom,
|
||||||
|
2) jsou-li $a, b$ Booleovy polynomy, potom i funkce $\overline a, a \vee b$ a $a \wedge b$ jsou Booleovy polynomy.
|
||||||
|
|
||||||
|
Dva Booleovy polynomy jsou si **rovny**, pokud definují tutéž Booleovu funkci.
|
||||||
|
|
||||||
|
### Klauzule
|
||||||
|
|
||||||
|
Polynomy ve tvaru $y_{1} \vee y_{2} \vee \dots \vee y_{n}$, resp. $y_{1} \wedge y_{2} \wedge \dots y_{n}$, kde $y_{i} = x_{i}$ nebo $y_{i} = \overline{x_{i}}$ se nazývají **spojová**, resp. **průseková klauzule v proměnných** $x_{1}, \dots, x_{n}$. Pro každé $i=1,\dots,n$ nazveme $y_{i}$ **literálem** proměnné $x_{i}$.
|
||||||
|
|
||||||
|
- $x_{1} \vee x_{2} \vee \overline{x_{3}} \vee x_{4} \vee \overline{x_{5}}$ - spojová klauzule
|
||||||
|
- $\overline{x_{1}} \wedge x_{2} \wedge x_{3} \wedge x_{4} \wedge \overline{x_{5}}$ - průseková klauzule
|
||||||
|
- $x_{1} \vee \overline{x_{2}} \wedge x_{3}$ - ani spojová, ani průseková klauzule
|
||||||
|
|
||||||
|
### Formy
|
||||||
|
|
||||||
|
O Booleově polynomu, který je **spojením průsekových**, resp. **průsekem spojových** klauzulí říkáme, že je zapsán v **disjunktivní (spojové)** resp. **konjunktivní (průsekové)** **normální formě**.
|
||||||
|
- značíme **DNF**, resp. **KNF**
|
||||||
|
|
||||||
|
Jestliže navíc každá klauzule obsahuje literály všech proměnných, potom tyto formy nazýváme úplnými formami.
|
||||||
|
- značíme **ÚDNF**, resp. **ÚKNF**
|
||||||
|
|
||||||
|
Každou nekonstantní Booleovu funkci n proměnných lze vyjádřit Booleovým polynomem n proměnných v **úplné disjunktivní i konjunktivní normální formě**.
|
||||||
|
- konstantní Booleova funkce
|
||||||
|
- 0 ... konjunktivní (kontradikce)
|
||||||
|
- 1 ... disjunktivní (tautologie)
|
BIN
KMA DMA/Otázky ke zkoušce/_assets/distributivni_svaz.png
Normal file
BIN
KMA DMA/Otázky ke zkoušce/_assets/distributivni_svaz.png
Normal file
Binary file not shown.
After Width: | Height: | Size: 19 KiB |
Loading…
Reference in a new issue