Přidání 1., 3. a 6. otázky ke zkoušce z DMA
This commit is contained in:
parent
e5b9f11092
commit
dbe2149704
3 changed files with 106 additions and 0 deletions
70
KMA DMA/Otázky ke zkoušce/01. Relace, zobrazení a funkce.md
Normal file
70
KMA DMA/Otázky ke zkoušce/01. Relace, zobrazení a funkce.md
Normal file
|
@ -0,0 +1,70 @@
|
|||
# Relace
|
||||
|
||||
Mějme dvě množiny $X, Y$ a představme si, že každý prvek $x \in X$ může (a nemusí) být ve vztahu $R$ s libovolným počtem prvků $y \in Y$. Na tento vztah nejsou kladeny žádné další podmínky.
|
||||
- tento vztah lze popsat jako výčet všech dvojic $(x, y)$ prvků, které spolu jsou ve vztahu $R$
|
||||
|
||||
Jelikož je kartézský součin definován jako **množina** všech **uspořádaných dvojic** s prvním prvek z množiny $X$ a druhým z množiny $Y$, definujeme relaci takto:
|
||||
|
||||
### Definice
|
||||
|
||||
Relace z množiny $X$ do množiny $Y$ je libovolná podmnožina $R$ kartézského součinu $X \times Y$.
|
||||
|
||||
Jedná se o relaci **binární**, jelikož určuje vztah mezi dvěma prvky.
|
||||
- definici můžeme zobecnit na **n-ární relace** (vztahy mezi n-ticemi prvků)
|
||||
|
||||
### Obory
|
||||
|
||||
- **levý**: $L(R) = \{ x \in X: \text{existuje nějaké } y \in Y \text{ tak, že } x \, R \, y \}$
|
||||
- všechny prvky $X$, které jsou v relaci s nějakým prvkem $Y$
|
||||
- **pravý**: $P(R) = \{ y \in Y: \text{existuje nějaké } x \in X \text{ tak, že } x \, R \, y \}$
|
||||
- všechny prvky $Y$, které jsou v relaci s nějakým prvkem $X$
|
||||
|
||||
### Znázornění relací
|
||||
|
||||
- pomocí grafu
|
||||
- množina $X$ vlevo, množina $Y$ vpravo
|
||||
- dva body jsou spojeny čarou, pokud jsou prvky v relaci R
|
||||
- pomocí kartézského součinu
|
||||
- matice $X \times Y$, kde na horizontální ose jsou prvky $X$ a na vertikální ose $Y$
|
||||
- body jsou vybarveny pouze na místech matice, kde jsou prvky v relaci R
|
||||
|
||||
### Vlastnosti relací
|
||||
|
||||
Relace $R$ na množině $X$ je
|
||||
- **reflexivní**, pokud pro každé $x \in X$ platí $x \, R \, x$,
|
||||
- **symetrická**, pokud pro každé $x, y \in X$ platí
|
||||
- $x \, R \, y \implies y \, R \, x$,
|
||||
- **slabě antisymetrická**, pokud pro každé $x, y \in X$ platí
|
||||
- $x \, R \, y$ a $y \, R \, x \implies x = y$,
|
||||
- **tranzitivní**, pokud pro každé $x, y, z \in X$ platí
|
||||
- $x \, R \, y$ a $y \, R \, z \implies x \, R \, z$,
|
||||
- **ekvivalentní**, pokud je reflexivní, symetrická a tranzitivní,
|
||||
- **tolerantní**, pokud je reflexivní a symetrická.
|
||||
|
||||
### Skládání relací
|
||||
|
||||
**Definice**
|
||||
- Nechť $R$ je relace z množiny $X$ do množiny $Y$ a $S$ je relace z množiny $Y$ do množiny $Z$. Pak **složení relací** $R$ a $S$ je relace $R \circ S \subset X \times Z$ z množiny $X$ do množiny $Z$, definováno takto
|
||||
- $(x, z) \in R \circ S$, právě když existuje $y \in Y$ tak, že $x \, R \, y$ a $y \, S \, z$,
|
||||
- kde $x \in X$ a $z \in Z$.
|
||||
|
||||
Skládání relací je možné pouze, pokud relace $R$ končí ve množině, kde $S$ začíná.
|
||||
|
||||
Věta o asociativitě skládání relací
|
||||
- Nechť $R \subset X \times Y, S \subset Y \times Z$ a $T \subset Z \times W$ jsou relace. Potom $R \circ (S \circ T) = (R \circ S) \circ T$.
|
||||
|
||||
### Inverzní relace
|
||||
|
||||
**Definice**
|
||||
- Relace **inverzní** k relaci $R \subset X \times Y$ je relace $R^{-1} \subset Y \times X$, definovaná vztahem
|
||||
- $y \, R^{-1} \, x$ právě když $x \, R \, y$ pro $x \in X, y \in Y$.
|
||||
|
||||
# Zobrazení, funkce
|
||||
|
||||
**Zobrazení** (nebo také **funkce**) množiny $X$ do množiny $Y$ je **relace** $f \subset X \times Y$, pro kterou platí, že pro každý prvek $x \in X$ existuje právě jeden prvek $y \in X$ tak, že $(x, y) \in f$. Skutečnost, že $f$ je zobrazením $X$ do $Y$, zapisujeme jako $f: X \to Y$.
|
||||
|
||||
**Druhy zobrazení**
|
||||
- Zobrazení $f: X \to Y$ je
|
||||
- **prosté**, pokud každé $y \in Y$ má nejvýše jeden vzor při zobrazení $f$,
|
||||
- **na**, pokud každé $y \in Y$ má alespoň jeden vzor při zobrazení $f$,
|
||||
- **vzájemně jednoznačné** (nebo **bijekce**), pokud je prosté a na.
|
|
@ -0,0 +1,18 @@
|
|||
# Ekvivalence a rozklad množiny
|
||||
|
||||
**Ekvivalence**
|
||||
- Ekvivalence na množině $X$ je relace $R$ na množině $X$, která je reflexivní, symetrická a tranzitivní.
|
||||
|
||||
**Třídy rozkladu**
|
||||
- Nechť $X$ a $I$ jsou množiny. (Neuspořádaný) soubor podmnožin $X_{i}: i \in I$ množiny $X$ je **rozklad množiny** $X$, pokud množiny $X_{i}$ jsou neprázdné, navzájem disjunktní a jejich sjednocením je celá množina $X$. Množiny $X_{i}$ nazýváme **třídy rozkladu** $X_{i}: i \in I$.
|
||||
+ Soubor $S = \{\{1, 3\}, \{6\}, \{2, 4, 5\}\}$, je například rozkladem množiny $X = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$, zatímco soubory $\{\{1, 2, 3\}, \{1, 4, 5\}, \{1, 5, 6\}\}$ a $\{\{1, 2\}, \{3, 4, 5\}\}$ nikoli. V rozkladu nezáleží na pořadí tříd.
|
||||
|
||||
# Stirlingova čísla
|
||||
|
||||
**Počet rozkladů n-prvkové množiny**
|
||||
- počet prvků rozkladu $k$
|
||||
- počet všech takových rozkladů?
|
||||
- $S(n, k) \qquad |x| = n$
|
||||
- $k = n \qquad S(n,n) = 1, S(n,1) = 1$
|
||||
- $S(n,k) = S(n-1,k-1) + k\cdot S(n-1,k), z \in X$
|
||||
- Stirlingova čísla (2. druhu)
|
18
KMA DMA/Otázky ke zkoušce/06. Grupy a tělesa.md
Normal file
18
KMA DMA/Otázky ke zkoušce/06. Grupy a tělesa.md
Normal file
|
@ -0,0 +1,18 @@
|
|||
# Grupa
|
||||
|
||||
**Grupa** $G$ je **množina** $M$ spolu s **asociativní binární operací** $*$, ve které existuje
|
||||
1) neutrální prvek
|
||||
- $\exists \, e \in G : \forall \, x \in G : x \circ e = x = e \circ x$
|
||||
2) prvek $x^{-1}$ inverzní ke každému prvku
|
||||
- $\forall \, x \in G : \exists \, x^{-1} \in G : x \circ x^{-1} = e$
|
||||
|
||||
Pokud je **operace** $*$ navíc **komutativní**, jedná se o **komutativní** nebo **abelovskou grupu**.
|
||||
|
||||
Grupa se značí jako $G(M, *)$.
|
||||
|
||||
# Těleso
|
||||
|
||||
Množina $M$ spolu s operací $\oplus$ tvoří komutativní grupu s neutrálním prvkem $0$, a nechť na množině $M - \{0\}$ je určena další binární operace $\otimes$. Potom $(M, \oplus, \otimes)$ je těleso, pokud $(M - \{0\}, \otimes)$ je rovněž komutativní grupa a navíc platí distributivní zákon:
|
||||
- $x \otimes (y \oplus z) = (x \otimes y) \oplus (x \otimes z)$ pro každé $x, y, z \in M$.
|
||||
|
||||
Mezi tělesa patří **množiny** všech racionálních, reálných a komplexních čísel, vždy se standardními operacemi **sčítání** a **násobení**.
|
Loading…
Reference in a new issue